(Sarà combinatoria o geometria?
)Poliedro convesso
Poliedro convesso
Un poliedro convesso ha $ n $ spigoli; trovare tutti i possibili valori di $ n $.
(Sarà combinatoria o geometria? )
(Sarà combinatoria o geometria?
)$ \mbox{ }\mbox{ } $And God said : $ \displaystyle c^2 \mu_0 \varepsilon_0 =1 $,
and then there was light.
$ \mbox{ }\mbox{ } $Tsune ni shinen kufu seyo
and then there was light.
$ \mbox{ }\mbox{ } $Tsune ni shinen kufu seyo
Re: Poliedro convesso
Dimostro che il numero di spigoli può essere qualsiasi intero $n\ge 6, n\neq 7$
Come prima si noti che il tetraedro, ossia il poliedro convesso più semplice, ha $6$ lati. Pertanto nessun poliedro può averne meno: infatti questo deve avere almeno $4$ vertici e almeno $4$ facce per poter esistere nello spazio, quindi dalla formula di Eulero $F+V-s=2$ ne deriva che n\ge 6.
Anche $7$ spigoli non sono possibili: sempre dalla stessa formula abbiamo che o $F=5 ,V=4$, o $F=4, V=5$.
La prima possibilità è impossibile: infatti non ci possono essere facce da $4$ vertici (altrimenti con una sola faccia esauriamo i vertici), quindi sono tutte da $3$. Ma allora abbiamo il tetraedro, che ha $6$ spigoli.
La seconda possibilità è anch'essa impossibile: se avessimo anche una sola faccia con $4$ vertici, allora le restanti devono essere triangolari (altrimenti con una seconda faccia quadrata sforiamo i vertici, visto che ne avremmo almeno $6$). Dato che ogni spigolo è condiviso da $2$ facce, $2n=14=4\cdot 1+3\cdot 3=13$
che è assurdo.
Mostreremo ora come costruire gli altri poliedri.
Per prima cosa mostriamo che $n$ composto è accettabile.
Consideriamo una piramide che ha per base un poligono di $n$ lati. Essa ha $2n$ spigoli (sempre con $n\ge 3$). Quindi posso scrivere tutti i pari maggiori di 6.
E per i dispari? Consideriamo un prisma retto con base un $n$-agono. Questo ha $3n$ spigoli. Aggiungiamo ora sulle 2 superfici di base 2 piramidi rette identiche aventi per base quelle del prisma. Di fatto abbiamo aggiunto $2n$ lati, ottenendo un poligono convesso di $5n$ lati. Ora consideriamo una delle due piramidi: la tagliamo parallelamente alla base, e vi costruiamo sopra un'altra piramide con inclinazione minore dei lati rispetto alla piramide precedente. (alternativamente si può ottenre "abbassando" il vertice della piramide iniziale). Il numero di spigoli ora è aumentato di $2n$ (l'operazione non ha cancellato nessuno degli spigoli precedenti, ne ha solo aggiunti di nuovi). Abbiamo quindi $7n$ spigoli. Con una semplice induzione possiamo mostrare che iterando il procedimento sulla nuova piramide costruita possiamo ottenere tutti i poliedri con $(2k+1)n$ lati (sempre $n\ge 3, k\ge1$)
Ora mostriamo che anche i poliedri convesso con un numero primo $p>7$ di spigoli esistono.
Si noti per prima cosa che $p-3$ è pari, pertanto esiste un poliedro con tale numero di spigoli. In particolare possiamo considerare che questo sia una piramide. Allora basta tagliare via un vertice della base della piramide con un taglio "triangolare" per aumentare il numero di spigoli di $3$ e ottenere quindi un poliedro con $p$ lati. Infatti nel vertice della base confluiscono sempre $3$ spigoli e $3$ facce, pertanto sezionando la piramide con un piano perpendicolare alla base si formano $3$ nuovi spigoli dalle intersezioni del piano con le facce.
Come prima si noti che il tetraedro, ossia il poliedro convesso più semplice, ha $6$ lati. Pertanto nessun poliedro può averne meno: infatti questo deve avere almeno $4$ vertici e almeno $4$ facce per poter esistere nello spazio, quindi dalla formula di Eulero $F+V-s=2$ ne deriva che n\ge 6.
Anche $7$ spigoli non sono possibili: sempre dalla stessa formula abbiamo che o $F=5 ,V=4$, o $F=4, V=5$.
La prima possibilità è impossibile: infatti non ci possono essere facce da $4$ vertici (altrimenti con una sola faccia esauriamo i vertici), quindi sono tutte da $3$. Ma allora abbiamo il tetraedro, che ha $6$ spigoli.
La seconda possibilità è anch'essa impossibile: se avessimo anche una sola faccia con $4$ vertici, allora le restanti devono essere triangolari (altrimenti con una seconda faccia quadrata sforiamo i vertici, visto che ne avremmo almeno $6$). Dato che ogni spigolo è condiviso da $2$ facce, $2n=14=4\cdot 1+3\cdot 3=13$
che è assurdo.
Mostreremo ora come costruire gli altri poliedri.
Per prima cosa mostriamo che $n$ composto è accettabile.
Consideriamo una piramide che ha per base un poligono di $n$ lati. Essa ha $2n$ spigoli (sempre con $n\ge 3$). Quindi posso scrivere tutti i pari maggiori di 6.
E per i dispari? Consideriamo un prisma retto con base un $n$-agono. Questo ha $3n$ spigoli. Aggiungiamo ora sulle 2 superfici di base 2 piramidi rette identiche aventi per base quelle del prisma. Di fatto abbiamo aggiunto $2n$ lati, ottenendo un poligono convesso di $5n$ lati. Ora consideriamo una delle due piramidi: la tagliamo parallelamente alla base, e vi costruiamo sopra un'altra piramide con inclinazione minore dei lati rispetto alla piramide precedente. (alternativamente si può ottenre "abbassando" il vertice della piramide iniziale). Il numero di spigoli ora è aumentato di $2n$ (l'operazione non ha cancellato nessuno degli spigoli precedenti, ne ha solo aggiunti di nuovi). Abbiamo quindi $7n$ spigoli. Con una semplice induzione possiamo mostrare che iterando il procedimento sulla nuova piramide costruita possiamo ottenere tutti i poliedri con $(2k+1)n$ lati (sempre $n\ge 3, k\ge1$)
Ora mostriamo che anche i poliedri convesso con un numero primo $p>7$ di spigoli esistono.
Si noti per prima cosa che $p-3$ è pari, pertanto esiste un poliedro con tale numero di spigoli. In particolare possiamo considerare che questo sia una piramide. Allora basta tagliare via un vertice della base della piramide con un taglio "triangolare" per aumentare il numero di spigoli di $3$ e ottenere quindi un poliedro con $p$ lati. Infatti nel vertice della base confluiscono sempre $3$ spigoli e $3$ facce, pertanto sezionando la piramide con un piano perpendicolare alla base si formano $3$ nuovi spigoli dalle intersezioni del piano con le facce.
"We' Inge!"
LTE4LYF
LTE4LYF
Re: Poliedro convesso
Bueno 
$ 2n=14=5\cdot 3=15 $
assurdo.
Comunque bravo
. Io non riuscivo a trattare i primi 
Io metterei anche il caso con 5 facce triangolari:Triarii ha scritto: La seconda possibilità è anch'essa impossibile: se avessimo anche una sola faccia con $4$ vertici, allora le restanti devono essere triangolari (altrimenti con una seconda faccia quadrata sforiamo i vertici, visto che ne avremmo almeno $6$). Dato che ogni spigolo è condiviso da $2$ facce, $2n=14=4\cdot 1+3\cdot 3=13$
che è assurdo.
$ 2n=14=5\cdot 3=15 $
assurdo.
Comunque bravo
. Io non riuscivo a trattare i primi Testo nascosto:
$ \mbox{ }\mbox{ } $And God said : $ \displaystyle c^2 \mu_0 \varepsilon_0 =1 $,
and then there was light.
$ \mbox{ }\mbox{ } $Tsune ni shinen kufu seyo
and then there was light.
$ \mbox{ }\mbox{ } $Tsune ni shinen kufu seyo
Re: Poliedro convesso
Vabbè, ma i primi non dovrebbero avere particolare rilevanza qui. Con costruzioni piramidali si riescono ad ottenere tutti i pari a partire da $6$. E con l'idea di mozzare lo spigolo ad un pari si ottengono tutti i dispari a partire da $9$ no?
Re: Poliedro convesso
Ora che ci penso in effetti ho fatto un ambaradan inutile 
Comunque Simone il problema lì per me è andato in prescrizione
Comunque Simone il problema lì per me è andato in prescrizione
"We' Inge!"
LTE4LYF
LTE4LYF