Cerchio da dividere

[karlosson_sul_tetto]

a) In quante parti al massimo si può dividere un cerchio tracciando n corde?
b) In quante parti al massimo può essere diviso un cerchio segnando n punti sulla circonferenza e congiungendoli due a due?

[matpro98]

Punto a
Il massimo si ottiene se:
I) ogni corda interseca ogni altra;
II) per ogni terna di corde esse non concorrono.
A questo punto notiamo che, lavorando in questo modo, aggiungendo l'$n$-esima corda otteniamo altre $n$ parti, quindi $P_n=P_{n-1}+n$ dove$P_n$ è il massimo numero di parti formate da $n$ corde e $P_1=2$. Per trovare la formula esplicita riscriviamo quella di sopra come $P_n-P_{n-1}=n$ e quindi si può notare subito che sommando $n-1$ volte otteniamo $P_n-P_1=n+(n-1)+\cdots+2+2=n(n+1)/2+1$

Punto b: coming soon (forse)

[xXStephXx]

Prima di sporcarci troppo le mani, pensiamo ad un approccio versatile
Abbiamo una circonferenza, tracciamo $n$ corde che si intersecano all'interno del cerchio (circonferenza esclusa) in $m$ punti distinti (complessivamente).
Quante parti si formano?

[matpro98]

@steph: non ho capito, è solo una riformulazione o ho sbagliato ragionamento?
@karlosson: la fine l'ho scritta male, intendo sommare $P_i-P_{i-1}$ per $2\leq i\leq n$ e quindi $P_n=n(n+1)/2-1+P_1=n(n+1)/2+1$

[xXStephXx]

Solo una riformulazione, il ragionamento è giusto Lo scopo era che se fai prima quella (che non è più difficile) ti accorgi che a prescindere da com'è posto il problema, il risultato dipende solo dal numero di corde e dal numero di intersezioni totali, non da come si intersecano o da quanto sono belle le ipotesi Quindi tutti i problemi di questo tipo sono uguali.

[matpro98]

In funzione anche di m però, perché se le corde sono parallele hai $n+1$ parti, o no?

[karlosson_sul_tetto]

il risultato dipende solo dal numero di corde e dal numero di intersezioni totali

Direi di si

[Mountains Drew]

Abbiamo una circonferenza, tracciamo $n$ corde che si intersecano all'interno del cerchio (circonferenza esclusa) in $m$ punti distinti (complessivamente).
Quante parti si formano?

Notiamo che nella divisione del cerchio quando tracciamo la $i$-esima corda che interseca le altre corde che abbiamo già tracciato in $a_i$ punti, otteniamo altre $a_i+1$ parti.
Quindi partendo dal cerchio con $0$ corde "diviso" in una parte, alla fine, dopo l'aggiunta delle n corde, sarà diviso in $P$ parti, con
$$ P = 1 + \sum\limits_{i=1}^n (a_i + 1) = 1 + n + \sum\limits_{i=1}^n a_i = n+m+1$$

Da cui a) segue facilmente:
$P$ è massimo quando $m$ è massimo (ovviamente con $n$ fissato), quando ogni corda interseca ogni altra corda e non vi sono terne di corde che concorrono. In questo caso $m= \binom{n}{2}$, quindi
$$ P_{max} =n+ \binom{n}{2}+1 = \binom{n+1}{2} +1$$