OliForum Matematico

Quanti sono i numeri dispari nelle prime $n$ righe del triangolo di Tartaglia (o Pascal)?

Qualche indizio?

C'è un fatterello simpatico che lega la divisibilità del coefficiente binomiale ${n \choose k}$ per un primo $p$ alle scritture di $n$ e $k$ in base $p$ (vedi il teorema di Lucas); in questo caso mi sembra che sia conveniente guardare prima la singola riga (con $n$ fissato, $k$ che varia da $0$ ad $n$ e $p=2$) e poi estendere il ragionamento per tutte le altre (poi magari l'osservazione che cito non c'azzecca nulla e c'è un modo infinitamente più furbo, ma ad occhio mi sembrerebbe funzionare )

Il teorema di Lasker sembra interessante, ma da quel che ho capito è anche un po' lungo... e se vi sporcaste un tantino le mani?

Vi dico qualcos'altro

Altro hint?

Dovreste aver notato, credo, Come si sfrutta?

Fino alla riga $ 2^n $ ci sono $ 3^n $ dispari.
Se $ 2^m $ è la massima potenza di $ 2 $ minore o uguale a di $ k $, la riga $ k $ ha il doppio di dispari della riga $ k-2^m $. Da qui, con qualche considerazioni sulla scrittura in base $ 2 $ del numero di riga, si arriva facilmente al numero di dispari nelle righe precedenti. Giusto?

Mmm, più o meno, sì