Alberto e Barbara...

[Pigkappa]

Alberto e Barbara fanno il seguente gioco. Su due foglietti di carta, Barbara scrive due numeri a sua scelta, compresi tra 0 ed 1 e diversi tra loro. Alberto prende uno dei due foglietti (scelto casualmente) e guarda il numero. Adesso Alberto deve indovinare se questo e' il numero piu' grande o piu' piccolo.
Esiste una strategia che garantisca ad Alberto una probabilita' $ p > \frac{1}{2} $ di vittoria?

[di questo so la soluzione e secondo me e' sufficientemente elementare da essere postato qua]

[matpro98]

Cioè? Lo fanno $n $ volte e vuoi $p (n) >1/2$?

[Pigkappa]

Puoi vederlo come preferisci... Puoi dire che lo fanno una volta sola, e Alberto vuole una strategia che lo fa vincere con probabilità superiore al 50%.

Oppure lo fanno n volte e Alberto vuole una strategia che in media lo fa vincere più di n/2 volte.

La prima interpretazione e' la più semplice secondo me.

[remat7]

Mi sembra troppo stupido dire che il numero sul foglietto è $ \geq \frac{1}{2} $ allora dico che è maggiore di quello scritto sull'altro foglietto, mentre se è $ <\frac{1}{2} $ è minore di quello scritto sull'altro foglietto...

[fph]

Mi sembra troppo stupido dire che il numero sul foglietto è $ \geq \frac{1}{2} $ allora dico che è maggiore di quello scritto sull'altro foglietto, mentre se è $ <\frac{1}{2} $ è minore di quello scritto sull'altro foglietto...

Ma se io barbaramente uso la strategia di scrivere sempre 0.7 su un foglietto e 0.8 sull'altro, la tua strategia ha solo il 50% di probabilità di vittoria.

(piccola precisazione al testo: Alberto prende un foglietto a caso. Se Barbara può scegliere quello da fargli aprire, allora non c'è una strategia >50%).

[Pigkappa]

Ho aggiunto la precisazione di fph al testo, davo per scontato che il foglietto lo scegliesse Alberto ovviamente

[Pigkappa]

Scrivo qua la soluzione (che mi ha sorpreso molto quando l'ho vista per la prima volta) perche' sono passati alcuni giorni e nessuno si e' fatto vivo .

Risposta: c'e' una strategia con cui Alberto (A) vince con probabilita' superiore a $ 0.5 $, indipendentemente da quel che fa Barbara (B). La strategia e' la seguente.
Diciamo che i numeri scelti da B sono $ a_1 < a_2 $. Diciamo che A estrae a caso il numero $ a $, che potrebbe essere $ a_1 $ oppure $ a_2 $. A decide di dichiarare che $ a $ e' il numero piu' grande con probabilita' $ a $, e che $ a $ e' il piu' piccolo con probabilita' $ 1-a $. Allora:

$ \displaystyle P(\text{A vince}) = P(a = a_1 \cap \text{A dichiara che il max e' } a_2) + P(a = a_2 \cap \text{A dichiara che il max e' } a_2) = \\ = \frac{1}{2} \times (1- a_1) + \frac{1}{2} \times a_2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (a_2 - a_1) > \frac{1}{2} $