Estrazioni da un'urna

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Pigkappa
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Estrazioni da un'urna

Messaggio da Pigkappa »

Un'urna contiene 100 biglie, di cui 50 nere e 50 bianche. Si estraggono le biglie una ad una, finche' non sono state estratte tutte. Qual e' la probabilita' che, ad ogni istante, il numero di biglie nere estratte fino a quel momento sia sempre minore o uguale a quello di urne bianche estratte?
matpro98
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Re: Estrazioni da un'urna

Messaggio da matpro98 »

Griglia $51 \times 51$, parto dall'angolo in basso a sinistra e se pesco una biglia nera vado a destra, altrimenti in alto, quindi non devo superare la diagonale. Quindi, $P (n)=\dfrac {\frac {1}{n+1} {{2n} \choose {n} }}{{2n} \choose {n} }$, con $n=50$, quindi la soluzione è $\frac{1}{51} $
Pigkappa
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Re: Estrazioni da un'urna

Messaggio da Pigkappa »

Il risultato e' corretto, ma come hai calcolato il numero di percorsi che non oltrepassano la diagonale?
mr96
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Re: Estrazioni da un'urna

Messaggio da mr96 »

Pigkappa ha scritto:Il risultato e' corretto, ma come hai calcolato il numero di percorsi che non oltrepassano la diagonale?
Penso che i numeri di Catalan si possano dare abbastanza per buoni, in alcune gare lo danno per buono anche nelle soluzioni ufficiali. In alternativa
Testo nascosto:
Consideriamo la somma $ \sum_{i=1}^{2n} x_i $ dove $ x_i $ vale $ 1 $ o $ -1 $ (rispettivamente destra e alto). Visto che, in ogni momento, i passi fatti verso destra devono essere maggiori o uguali a quelli verso l'alto, ci serve $ \sum_{i=1}^{0<k<2n} x_i \geq 0 $.

Il totale delle somme di questo tipo è $ \frac{2n!}{n!^2} $, proviamo a togliere quelle che non vanno bene: consideriamo una somma non valida, ci sarà un $ m $ minimo tale che la somma sarà minore di $ 0 $. Cambiamo segno ai primi $ m $ elementi e quella che ci ritorna è una somma valida. Il numero di queste somme è $ \frac{2n!}{(n-1)!(n+1)!} $, quindi il numero di somme accettabili è $ \frac{2n!}{n!^2} - \frac{2n!}{(n-1)!(n+1)!}=\frac{2n!}{n!(n+1)!}=\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n} $
Pigkappa
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Re: Estrazioni da un'urna

Messaggio da Pigkappa »

Ok, immagino che in molte gare di matematica si possano dare per buoni, ma io non li conoscevo (la soluzione che avevo trovato e' simile alla tua alternativa).

In generale, se usi uno strumento avanzato per "saltare in blocco" la parte piu' difficile di un problema, almeno devi dire che strumento stai usando. Questo esercizio non e' cosi' difficile e potrebbe, per esempio, essere un Cesenatico medio-basso, e se li' scrivi direttamente il risultato come hai fatto tu, secondo me possono penalizzarti.
mr96
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Re: Estrazioni da un'urna

Messaggio da mr96 »

Pigkappa ha scritto:Ok, immagino che in molte gare di matematica si possano dare per buoni, ma io non li conoscevo (la soluzione che avevo trovato e' simile alla tua alternativa).

In generale, se usi uno strumento avanzato per "saltare in blocco" la parte piu' difficile di un problema, almeno devi dire che strumento stai usando. Questo esercizio non e' cosi' difficile e potrebbe, per esempio, essere un Cesenatico medio-basso, e se li' scrivi direttamente il risultato come hai fatto tu, secondo me possono penalizzarti.
Guarda che io e quello che ha risposto sopra siamo due persone diverse :lol:
Pigkappa
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Re: Estrazioni da un'urna

Messaggio da Pigkappa »

...Chiedo scusa :P
matpro98
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Re: Estrazioni da un'urna

Messaggio da matpro98 »

Sì, in effetti ho scritto un po' frettolosamente, colpa mia
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