La sfida

[cip999]

Sia $X = \{1, \: 2, \: 3, \: \dots, \: 2^{2015} - 1\}$ e sia $Y$ un sottoinsieme di $X$ con le seguenti proprietà:
    (i) $1, \: 2^{2015} - 1 \in Y$;
   (ii) Ogni elemento di $Y$ diverso da $1$ si può scrivere come somma di altri due elementi di $Y$ (non necessariamente distinti).
Sia $m$ la minima cardinalità possibile per $Y$.

   (a) Dimostrare che $m \le 2034$.
   (b) Dimostrare che $m \le 2031$.
   (c) Qual è la stima migliore che riuscite a ottenere (e a dimostrare!) per $m$?

[Enigmatico]

Se non ho capito male il testo direi $m \leq 24$ (Penso che valga proprio $m=24$, ma non ho ancora dimostrato che è effettivamente il minimo). Appena ho un attimo di tempo posto anche come ci sono arrivato...

EDIT: scusate, avevo letto $15$ anziché $2015$... Vedo di aggiustare la mia idea...

[cip999]

Anche perché si dimostra facilmente che $m \ge 2016$...
Invece per $15$ il minimo non è $24$, si può anzi dire che è al più $20$.