Brilliant!

[Fbuonarroti]

Diciamo che un insieme $ S $ è carino se è un sottoinsieme non vuoto dell'insieme $ \{\ 1,2,3,\ldots ,2016 \} $ e il prodotto degli elementi di $ S $ è una potenza perfetta di $ 10 $.
Qual è la cardinalità del più grande degli insiemi carini?

[il filosofo]

Testo nascosto:

20?

[il filosofo]

scherzavo

Testo nascosto:

21?

[Fbuonarroti]

Si

[il filosofo]

Allora quando arrivo a casa pubblico la soluzione

[il filosofo]

probabilmente ce ne sarà una più bella, ma io metto la mia

intanto notiamo che gli elementi del nostro sottoinsieme non devono contenere, nella loro scomposizione, primi diversi da 2 e 5.
Scriviamo dunque tutti i numeri multipli solo di 2 e 5 minori di 2016:
1, 2,...2^10, 5, 25, 125, 625, 2x5, 2x25, 2x125, 2x625, 4x5, 4x25, 4x125, 8x5, 8x25, 8x125, 16x5, 16x25, 16x125, 32x5, 32x25, 64x5, 64x25, 128x5, 256x5
Se svolgiamo il prodotto, il risultato sarà 2^123x5^46
Ora, vogliamo che gli esponenti del 2 e del 5 siano uguali, e per fare ciò dobbiamo togliere elementi all' insieme sopra trovato, In modo da togliere meno numeri possibile. Dobbiamo quindi togliere con priorità i numeri nei quali la differenza fra l' esponente del 2 e quello del 5 sia massima. Togliamo quindi le potenze di 2 da 16 a 2^10 compresi, poi togliamo 256x5, 128x5, 64x5, 64x25.
Il prodotto ora è 2^47x5^41. Dobbiamo togliere ora 2 numeri tali che la differenza di esponente sia 3. Togliamo 8 e 32x25 per esempio. Il prodotto sarà dunque 10^39.
Contando i numeri rimasti troviamo che sono 21.

Ripeto probabilmente non è una gran soluzione, ma è la prima che mi è venuta in mente

[AlexThirty]

probabilmente ce ne sarà una più bella, ma io metto la mia

intanto notiamo che gli elementi del nostro sottoinsieme non devono contenere, nella loro scomposizione, primi diversi da 2 e 5.
Scriviamo dunque tutti i numeri multipli solo di 2 e 5 minori di 2016:
1, 2,...2^10, 5, 25, 125, 625, 2x5, 2x25, 2x125, 2x625, 4x5, 4x25, 4x125, 8x5, 8x25, 8x125, 16x5, 16x25, 16x125, 32x5, 32x25, 64x5, 64x25, 128x5, 256x5
Se svolgiamo il prodotto, il risultato sarà 2^123x5^46
Ora, vogliamo che gli esponenti del 2 e del 5 siano uguali, e per fare ciò dobbiamo togliere elementi all' insieme sopra trovato, In modo da togliere meno numeri possibile. Dobbiamo quindi togliere con priorità i numeri nei quali la differenza fra l' esponente del 2 e quello del 5 sia massima. Togliamo quindi le potenze di 2 da 16 a 2^10 compresi, poi togliamo 256x5, 128x5, 64x5, 64x25.
Il prodotto ora è 2^47x5^41. Dobbiamo togliere ora 2 numeri tali che la differenza di esponente sia 3. Togliamo 8 e 32x25 per esempio. Il prodotto sarà dunque 10^39.
Contando i numeri rimasti troviamo che sono 21.

Ripeto probabilmente non è una gran soluzione, ma è la prima che mi è venuta in mente

La soluzione è giusta, solo che la dimostrazione diciamo che non è rigorosa. Tu hai semplicemente dimostrato che con 21 è possibile, ma non hai effettivamente dimostrato che è il massimo. Cioè lo hai ritenuto implicito, ma va dimostrato che ad esempio con 22 non si può