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provare a considerare i sottogruppi che formano il gruppone

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se ognuno stringe la mano ad esattamente $2$ altri, posso considerare le relazioni come un ottagono. L'ordine non conta, quindi i modi di disporre le persone sono (all'inizio) $8!$, elimino le rotazioni quindi sono $7!$, poi divido per $2$ (tolgo le simmetrie) perché $ABCDEFGH $ è uguale a $AHGFEDCB $. Totale: $\dfrac {7!}{2} $

Ho 3 casi:
1) Le persone formano un ottagono, e direi che matpro98 ha già spiegato bene perché sono $ \frac{7!}{2} $
2) Le persone formano un triangolo e un pentagono, nel triangolo posso sceglierle in $ \binom{8}{3} $ modi, per il pentagono applico lo stesso ragionamento che ho usato nell'ottagono e trovo $ \frac{4!}{2} $
3) Le persone formano due quadrati, a ogni quadrato applico lo stesso ragionamento di prima e trovo $ \frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5}{4\cdot 2}\cdot \frac{4\cdot 3\cdot 2}{4\cdot 2} $ che devo dividere per 2 perché i due quadrati sono uguali

Sommo e trovo 3507