OliForum Matematico

Vi propongo questo quesito molto carino.
Tizio A e Tizio B giocano in maniera particolare: Tizio A sceglie $2$ punti su una sfera, mentre Tizio B sceglie il terzo (senza sapere i $2$ punti scelti da Tizio A, dunque pressochè casualmente). Se il triangolo $\bigtriangleup ABC$ è acuto, vince Tizio A, altrimenti Tizio B. Sapendo che Tizio A ha scelto i $2$ punti in maniera tale da massimizzare la sua probabilità di vittoria, quanto vale quest'ultima?

viewtopic.php?f=16&t=9390&hilit=probabilit%C3%A0
Tutto dipende da cosa vuol dire "a caso".

Chiedo scusa se dico cose di cui non sono certo, ma mi pare che la scelta di un punto su una sfera sia possibile in un unico modo, quindi non dovrebbe esserci alcun problema nel trovare la soluzione. Anche perchè i due punti scelti da Tizio A non sono proprio a caso, in quanto la condizione sulla probabilità di vittoria dovrebbe determinarli univocamente a meno di rotazioni.

Per caso la probabilità è 37/56=0,6607...? Adesso non ho tempo di illustrare la soluzione(sempre che sia corretta) ma intanto chiedo una conferma.

Avevo fatto la stessa considerazione (che a questo punto ritengo erronea) di "Ilgatto". Sarò allora più chiaro, chiedendo esplicitamente di trovare il rapporto tra la superficie del luogo dei punti dove può venirsi a trovare $C$ (in maniera tale che $\bigtriangleup ABC$ sia acuto) e la superficie della sfera.
Per quanto riguarda la risposta di mat2772.. non mi torna il tuo risultato, ma ti chiederei di mostrare il tuo procedimento.

Scusa Fenu ma oggi proprio non ho tempo di esporre il mio tentativo, ma intanto provo a chiederti un'altra conferma visto che avevo sbagliato i conti: sqrt(8/3)-1?

Mh.. Magari hai sbagliato di nuovo i conti. Metto il risultato in spoiler

Invio la mia soluzione:
Siano A e B i due punti sulla superfie della sfera [math]\Gamma di raggio R e [math] 2x la loro distanza. I due piani ortogonali al segmento AB passanti per gli estremi staccano su [math]\Gamma due calotte sferiche uguali [math]\Omega_1 \text{ e } \Omega_2 di superficie [math]S_{\Omega_1} = S_{\Omega_2} = 2\pi R(R-x) . Tutti i punti appartenenti a queste calotte sono da escludere perchè formano angoli in A o in B ottusi o retti.
Tutti i punti dello spazio che formano angoli retti o ottusi in C appartengono alla sfera di diametro AB, che stacca su [math]\Gamma una calotta sferica da escludere [math]\Omega_3 di superficie [math]S_{\Omega_3} = 2\pi R(R-\sqrt{R^2-x^2}).
La probabilità in funzione di x è [math]p(x) = \frac{S_{\Gamma}-S_{\Omega_1} -S_{\Omega_2}-S_{\Omega_3}}{S_\Gamma} = -\frac{1}{2} + \frac{2x+\sqrt{R^2-x^2}}{2R}. Massimizando la probabilità si ottiene [math]d(A,B)= 2x = \frac{4\sqrt{5}}{5} e [math]p(x) = \frac{\sqrt{5}-1}{2}.

Corretta!