OliForum Matematico

(Test d'ammissione alla SNS, Anno accademico 1991-1992):
Su un treno, inizialmente senza passeggeri e formato da n carrozze, salgono k viaggiatori disponendosi in modo casuale e indipendente l'uno dall'altro. Qual è la probabilità che solo tre carrozze siano occupate da almeno un viaggiatore?

Bye,
#Poliwhirl#

1) Numero di modi in cui posso distribuire k passeggeri in 3 carrozze: 1 per carrozza, e poi le partizioni di (k-3) in 3 parti >=0:

$ {{k-3 +3 -1} \choose {2}} = $$ {k-1} \choose 2 $

2) Numero di modi di distribuire le n-3 carrozze vuote: sono le partizioni di n-3 in quattro parti (carrozze vuote prima della prima piena, carrozze vuote tra le prime due piene...)
$ {{n-3 +4 -1} \choose {3}} = $$ n \choose 3 $

3) Totale dei modi "buoni" di distribuire i passeggeri:
$ \frac{(k-1)(k-2)n(n-1)(n-2)}{12} $

4) Totale dei modi di distribuire i passeggeri: partizioni di k in n parti:

$ {k+n-1} \choose {n-1} $

Ora, il concludere mi lascia grossi dubbi... probabilità: $ \frac{n(n-1)(n-2)(k-1)(k-2)(n-1)!k!}{12(k+n-1)!} $ ma mi sembra impossibile non si possa semplificare un po'!

Ciao!!!

Hum mi uscirebbe un risultato diverso (vabbè, ci avevo pensato in vacanza a Praga appena uscito da una birreria )

Il problema mi parrebbe equivalente al seguente:
Dato un'alfabeto di n segni calcolare la probabilità che in una parola "lunga" k siano usati esattamente 3 segni.

Casi totali: $ n^k $

Casi favorevoli: $ {n \choose 3} (3^k - {3 \choose 2}2^k+3) $
Infatti posso scegliere in $ {n \choose 3} $ modi distinti i 3 segni usati.
Le parole lunghe k da un'alfabeto di 3 segni sono $ 3^k $ .
Ora devo togeliere le parole che non usano tutti e 3 i segni che sono (per il PIE):
$ {3 \choose 2}2^k-3 $

Probabilità cercata: $ \frac{{n \choose 3} (3^k - {3 \choose 2}2^k+3)}{n^k} $

Uhm... a quest'ora sono troppo stanco per pensare, ma direi che il mio errore sia stato nel considerare equiprobabili le distribuzioni dei passeggeri nelle carrozze, cosa che invece non è... (ad esempio, in un caso n=k=3, la distribuzione [1,1,1] ha una probabilità ben diversa da quella [3,0,0]...)

Ciao!