OliForum Matematico

SNS 2001 - 6

Un sistema di lampadine, connesse fra loro e dotate ciascuna di un interruttore, ha la proprietà che premendo l'interruttore di una lampadina si cambia il suo stato e quello di ogni altra ad essa direttamente connessa.

Si dimostri che se l'unico modo di avere tutte le lampadine spente è quello di lasciare gli interruttori nella posizione iniziale, allora è possibile ottenere qualunque configurazione di lampadine accese.

Le configurazioni delle lampadine (accesa/spenta) sono $ 2^n $ , le configurazioni degli interruttori (posizione iniziale, posizione diversa da quella iniziale) sono $ 2^n $.
Se ad ogni configurazione degli interruttori corrisponde una distinta configurazione delle lampadine allora posso ottenere tutte le configurazioni delle lampadine possibili.

Ipotizzo ora esistano 2 configurazioni $ C_i $e $ C_j $ degli interruttori distinte a cui corrisponde la stessa configurazione delle lampadine.

E’ palese che se da $ C_i $ o da $ C_j $ schiaccio gli stessi interruttori otterrò sempre la stessa configurazione delle lampadine ma con una configurazione degli interruttori distinta.

Inoltre se da $ C_i $ schiaccio gli stessi interruttori che avevo schiacciato per arrivare dalla configurazione iniziale a $ C_i $ ottengo nuovamente la configurazione iniziale, sia degli interruttori, sia delle lampadine (ogni interruttore è stato schiacciato un numero pari di volte..).

Questo vuole dire che se da $ C_j $ schiaccio gli stessi interruttori che avrei schiacciato per arrivare dalla configurazione iniziale a $ C_i $ ottengo nuovamente la configurazione iniziale delle lampadine ma con una distinta configurazione degli interruttori..

Da ciò segue facilmente la tesi..