Tipiche classi liceali italiane sovraffollate.. SNS(83-84).5

[Poliwhirl]

Due amici si sono scritti alla prima classe di un liceo. Tale liceo ha due sezioni le cui prime classi hanno rispettivamente $ n $ e $ m $ studenti, con $ \displaystyle m, n $ compresi tra $ 20 $ e $ 30 $. Sapendo che la probabilità che i due amici si trovino nella stessa classe è $ \displaystyle \frac{1}{2} $, dite quanti sono gli studenti delle due classi.

Bye,
#Poliwhirl#

[Boll]

Immagino ci sia una via molto più breve. Tutte le variabili introdotte saranno interi non negativi. Vi propongo un assaggio di brute force:

La probabilità che il primo amico capiti nella prima classe è $ $ \frac{n}{m+n} $ che poi vi capiti anche l'altro è $ $ \frac{n-1}{m+n-1} $. Analogamente nell'altra classe. Quindi la probabilità che siano insieme è
$ $ \frac{m(m-1)+n(n-1)}{(m+n)(m+n-1)} $

Imponendo che sia un mezzo avremo l'equazione
$ m^2+n^2-m-n-2mn=0 $
quindi il delta in $ m $ cioè
$ 8n+1 $ deve essere un quadrato.

Fra $ 161 $ e $ 241 $ ci sono tre quadrati $ \{169,196,225\} $ fra i quali $ 169,225 $ sono congrui a 1 modulo 8. Quindi $ n=21 $.

Abbiamo quindi l'equazione
$ m^2-43m+420=0 $.
Fra le due soluzioni scegliamo solo quella fra 20 e 30 e quindi otteniamo la coppia $ (m,n)=(28,21) $

Ovviamente è soluzione, per simmetria, anche la coppia $ (21,28) $

EDIT: Il metodo è lo stesso, fatevi anche $ 225 $

[Marco]

$ \{169,196,225\} $ fra i quali solo $ 169 $ è congruo a 1 modulo 8.

Per punzione, Boll scriverà cento volte: "I quadrati dei numeri dispari sono tutti congrui a uno modulo otto".

[piever]

Immagino ci sia una via molto più breve.

Giacché bisogna tormentarti, posto la soluzione più facile:

Dobbiamo avere che le probabilita che si trovino in classe insieme sia uguale alle probabilita che siano in classi diverse.

Quindi servono due valori $ x,y $ (gli alunni in ciascuna classe) che soddisfino l’equazione:

$ x(x-1)+y(y-1)=2xy $

che si puo trasformare in

$ (x-y)^2=x+y $

quindi $ x+y $ è un quadrato perfetto.

L’unico quadrato perfetto tra $ 40 $ e $ 60 $ è $ 49 $, quindi $ x+y=49 $

Dal LHS della disuguaglianza ricaviamo che $ x-y=7 $

Infine con un sistemino di primo grado a due incognite arriviamo facilmente alla soluzione:

$ x=28 $ e $ y=21 $

@ Boll: va bene un po’ di sana forza bruta ogni tanto, ma complicarsi la vita a quel punto...

ciao!