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Si dispongano sulle 64 caselle di una scacchiera i numeri $ 1,2,3...,64. $ Chiamiamo contigue due caselle che hanno un lato in comune. Si dimostri che esistono almeno due caselle contigue i cui numeri differiscono per più di $ 4 $.

Bye,
#Poliwhirl#

Sono di fretta, ma lascio qualche idea:

• Trovare tutte le configurazione (ossia il numero di modi in cui si possono suddividere i numeri dall'1 al 64 in coppie la cui differenza non sia minore o uguale a quattro).
• Trovare il numero di coppie totali che formano le caselle prossime sulla scacchiera.
• Verificare che il primo punto abbia risultato maggiore del secondo.

La parte più difficile è il primo punto, ma a quanto mi ricordo sul libro di Arthur Engel nella sezione combinatorica enumerativa c'è un problema simile con tre-quattro soluzoini.

Ipotizziamo che esista una configurazione in cui ogni coppia di caselle contigue differisca al massimo di quattro. Allora se si può andare da una casella ad un'altra in $n$ salti da una casella contigua all'altra, allora le due caselle differiscono al più di $4n$. Ma due caselle distano al massimo $14$ caselle. Dunque due caselle possono differire al massimo di $56$. Ma $1$ e $64$ differiscono di $63$, e ciò è un'assurdo. Dunque abbiamo dimostrato la tesi.

Visto che qualcuno ha riesumato questo post, lasciamo qui anche questo: viewtopic.php?f=16&t=15674
TL;DR: si riesce a rimpiazzare quel 4 con un 7.