regioni di una superficie sferica

[mod_2]

si determini il numero di regioni in cui una superficie sferica è suddivisa da n cerchi massimi tali che nessun punto appartenga a tre di essi.

per risolvere questo all'inizio ho provato a fare un pò i casi semplici...
n° cechi 1 2 3 4 5
n° regioni 2 4 8 14 22
da cui ho ricavato ke le regioni all'aggiunta dell'n-simo cerchio è n(n-1)+2
ora notiamo anke ke all'aggiunta dell'n-simo cerchio regioni sono di 2(n-1) regioni xke n-simo cerchio incontra al max due volte un cerchio esistente...
ora applico l'induzione
sia $ R_n $ il numero di regioni all'aggiunta dell'n-simo cerchio
$ $$R_{n+1}$=n(n-1)+2+2(n+1-1)=n^2-n+2n+2=2+n(n+1)$ $
noto ke ora al posto di n c'è n+1 e al posto di n-1 c'è n e quindi la formula resta dimostrata ma io quella formula lì, cioè quello del numero delle regioni all'n-simo cerchio l'avevo ricavato kosì senza un ragionamento logico dietro... qualcuno potrebbe dirmi tutto il ragionamento ke c'è dietro a quella formula?

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

non so se ti può aiutare, comunque prova a stendere la superficie sferica sul piano e occhio alle condizioni

[mod_2]

nn so se ho capito la tua idea cioè:

suppongo ke ci sono n cerchi massimi, con un cerchio divido la sfera in due semisfere così da poter disegnare il cerchio su una superficie bidimensionale, il ke facilita le operazioni...
sul cerchio disegnato (la semisfera), eseguo dei tagli massimi tanti quanti n-1 in modo da poter ottenere un numero massimo di regioni. alla fine basta moltiplicare il numero delle regioni per 2

lavorando sempre sulla semisfera...
noto ke all'aggiunta dell'n-esimo taglio (cerchio nel caso della sfera), incontro esattamente n-2 tagli aggiungengo esattamente n-1 regioni nuovi alla semisfera, e quindi per sapere quanti sono le regioni dopo n-esimo taglio basta fare $ \frac {n(n-1)}{2} +1 $ poi però dovrò moltiplicarlo per 2 (xke sto lavorando sulla semisfera...) e ottengo esattamente $ n(n-1)+2 $

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

proprio così