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Due amici si sono iscritti alla prima classe di un liceo.
Tale liceo ha due sezioni le due prime classi hanno rispettivamente n e m studenti, con m e n compresi fra 20 e 30.
Sapendo che la probabilità che i due amici si trovino nella stessa classe è 1/2, dite quanti sono gli studenti nelle due classi

$ p= \frac {2nm}{(n+m)^2} = \frac {1}{2} $ da cui n=m

Vediamo di scriverla in altro modo...

In che modo esprimo che i due si trovino nella stessa classe?

Ho $ m+n $ elementi da distribuire in due classi. Se voglio che i due amici stiano insieme li devo considerare come elemento singolo. Quindi ora ne ho $ m+n-1 $.
Definendo il gruppo di una classe ho di conseguenza l'altro.

In quanti modi metto $ m+n-1 $ persone a gruppi di $ n $? $ \displaystyle \left {m+n-1} \choose{m} $.

Se invece considero che i due amici possono essere insieme oppure no ho $ \displaystyle \left {m+n} \choose{m} $ combinazioni .

Quindi $ \displaystyle P= \frac{\left {m+n-1} \choose{m}}{\left {m+n} \choose{m}} $ che da proprio $ m=n $ se $ P=\frac{1}{2} $.

Dunque vediamo... I modi di formare le classi sono, come è già stato detto, $ {{m+n} \choose m} $
In che modi posso mettere insieme i due amici? Se sono nella classe da m studenti, devo fissare gli altri m-2 compagni, dunque ho $ {{m+n-2} \choose m-2} $ modi, e similmente ho $ {{m+n-2} \choose n-2} $ modi per metterli nella classe da n studenti.
Fate tanti conti, e viene $ (m-n)^2=m+n $. Dunque $ 40 \leq m+n \leq 60 \Rightarrow 40 \leq (m-n)^2 \leq 60 $ e m+n è un quadrato. Dunque $ m+n=49 $. Perciò $ m-n=7 $ e dunque le due classi hanno 28 e 21 studenti.
Fate un po' una prova con 4 studenti e due classi da due... se ho capito bene il testo, si intende, io non ci credo che la probabilità sia un mezzo!

Ciao!

darkcrystal ha scritto: Fate tanti conti, e viene $ (m-n)^2=m+n $.

Scusa, non ho capito una cosa: perchè metti l'uguaglianza?

EDIT: scherzavo, capito

Aggiungo una brevissima postilla a quanto scritto dall'ottimo darkcristal. La probabilita' che entrambi gli amici si trovino nella classe con $ m $ elementi, che come abbiamo visto e'

$ \frac{\binom{m+n-2}{m-2}}{\binom{m+n-2}{m-2}}=\frac{m(m-1)}{(m+n)(m+n-1)} $

puo' essere calcolata anche nel seguente modo, che richiede forse un po' meno abilita' combinatoria (non che il metodo originale ne richiedesse troppa...) e ci permette di ripassare qualche nozioncina di probabilita'

Indichiamo con $ A $ l'evento "Tizio e' nella classe con $ m $ elementi" e con $ B $ l'evento "Caio e' nella classe con $ m $ elementi". Allora quel che ci interessa e' $ P(A\cap B) $. A questo punto ci ricordiamo che

$ P(A\cap B)= P(B|A)\cdot P(A) $

dove $ P(B|A) $ e' la probabilita' che si verifichi $ B $ sapendo che si e' verificato $ A $, ovvero la probabilita' che Caio si trovi nella classe con $ m $ elementi se Tizio si trova nella classe con $ m $ elementi.

E' immediato calcolare

$ P(A)=\frac{m}{m+n}; \qquad P(B|A)=\frac{m-1}{m+n-1} $

e se ne ricava

$ P(A\cap B)= \frac{m(m-1)}{(m+n)(m+n-1)} $

Bè si io sono agli inizio della combinatoria e effettivamente credo che wolverine abbia ragione cmq ecco i miei ragionamenti

Soluzione
Per sapere quanti modi ci sono per formare due classi utilizziamo le partizioni...
$ m+n $ sono tutti gli alunni
$ m $ e $ n $ sono il numero di persone ke ci sono nelle varie classi
Con le partizioni noi stabiliamo in quanti modi possiamo creare da un insieme di $ m+n $
elementi, due sottoinsiemi di $ m $ e $ n $ elementi...
Quindi ci troviamo di fronte ad una partizione ordinata
$ \displaystyle \left {m+n} \choose{m,n} $

benissimo...questi sono tutti i modi di formare le due classi
A questo punto stupidamente si potrebbe dire che basta dividere per due per ottenere in quanti modi
I due amici si trovano insieme...
Appunto stupidamente visto che ciò non porterebbe a nessuna parte...

Ora vediamo invece seriamente come bisogna ragionare...
In quanti modi i due amici possono trovarsi nella classe di $ n $ alunni?
In quanti modi i due amici possono trovarsi nella classe di $ m $ alunni?

I due casi non sono equivalenti...
Allora...il discorso è lo stesso ma è qui che mi blocco io...
Volendo rigirare il problema si potrebbe pensare di cambiare esempio...e dire in qaunti modi posso
distribuire un certo numero di oggetti a due persone se l'oggetto uno e l'oggetto due devono esser distribuiti insieme?

Bene basta rispondere q eusta domanda per finire il problema...ma io non riesco a rispondere

Per favore in ogni caso qualcuno può rispondere a questa domanda...
in qaunti modi posso distribuire un certo numero di oggetti a due persone se l'oggetto uno e l'oggetto due devono esser distribuiti insieme?

madooo.........ancora non rifacevo uno sbaglio del genere da anni...