Su e giù, ritrovandosi, ma senza incrociarsi per strada
Inviato: 09 gen 2008, 16:37
Per ogni n, consideriamo le funzioni da {1,2,...,n} a {+1,-1}.
In particolare, sia $ ~ A_n $ l'insieme delle coppie $ ~ (f,g) $ di tali funzioni che soddisfano:
- $ ~ \displaystyle \sum_{i=1}^k f(i) \ge \sum_{j=1}^k g(i) $ per ogni k=1,2,...,n
- $ ~ \displaystyle \sum_{i=1}^n f(i) = \sum_{j=1}^n g(i) $
(viene comodo rappresentarle su una griglia quadrata pensando al titolo)
E sia inoltre $ ~ B_n $ l'insieme delle funzioni f che soddisfano:
- $ \displaystyle \sum_{i=1}^k f(i) \ge 0 $ per ogni k=1,2,...,n
- $ \displaystyle \sum_{i=1}^n f(i) = 0 $
La cosa interessante è questa:
$ ~ A_k $ è in corrispondenza biunivoca con $ ~ B_{2k+2} $
In particolare, sia $ ~ A_n $ l'insieme delle coppie $ ~ (f,g) $ di tali funzioni che soddisfano:
- $ ~ \displaystyle \sum_{i=1}^k f(i) \ge \sum_{j=1}^k g(i) $ per ogni k=1,2,...,n
- $ ~ \displaystyle \sum_{i=1}^n f(i) = \sum_{j=1}^n g(i) $
(viene comodo rappresentarle su una griglia quadrata pensando al titolo)
E sia inoltre $ ~ B_n $ l'insieme delle funzioni f che soddisfano:
- $ \displaystyle \sum_{i=1}^k f(i) \ge 0 $ per ogni k=1,2,...,n
- $ \displaystyle \sum_{i=1}^n f(i) = 0 $
La cosa interessante è questa:
$ ~ A_k $ è in corrispondenza biunivoca con $ ~ B_{2k+2} $
