Sviluppi in serie di Taylor di funzioni composte

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polarized
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Sviluppi in serie di Taylor di funzioni composte

Messaggio da polarized » 21 ott 2016, 18:47

Ciao ragazzi, ho da poco cominciato a studiare gli sviluppi di Taylor e oggi mi sono incastrato tutto il pomeriggio su questo problema apparentemente semplice.

Voglio trovare lo sviluppo in serie al secondo ordine di $$ f(x)=\frac{1}{1+x^2} $$ Nel punto $x_0=1$
Ora, calcolando le derivate e applicando meccanicamente la formula si ottiene (confermato da Wolframlalpha)
$$ f(x)=\frac 1 2 -\frac 1 2 (x-1) +\frac 1 4 (x-1)^2+o((x-1)^2) $$

Quando ho visto questo esercizio io però ho pensato di sfruttare lo sviluppo delle funzioni composte vedendo $\frac{1}{1+x^2}=h(g(x))$ con $h(x)=\frac{1}{1+x}$ e $g(x)=x^2$. Per far ciò dovrei sviluppare $g(x)$ in $x_0=1$ e $f(y)$ in $y_0=g(x_0)$. Però $g(x)$ è già "sviluppata" e non mi resta altro da fare che sviluppare $f(x)$:
$$ \frac{1}{1+y}=\frac 1 2-\frac 1 4 (y-1) + o(y-1) $$
Già fermandosi a questo punto si vede che sostituendo $y=x^2$ si ottiene una cosa diversa dalla soluzione (volendo si verifica che $o(x^2-2x+1)=o(x^2-1)$) e non riesco a spiegarmi il perchè :( :(
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Re: Sviluppi in serie di Taylor di funzioni composte

Messaggio da Talete » 21 ott 2016, 20:14

Sviluppa $f(y)$ al secondo ordine:

\[\frac1{1+y}=\frac12-\frac14(y-1)+\frac18(y-1)^2+o((y-1)^2).\]

A questo punto se inserisci $y=x^2$ non dovresti avere problemi (spero). Scusa se non faccio i conti ma sono di fretta ;)
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polarized
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Re: Sviluppi in serie di Taylor di funzioni composte

Messaggio da polarized » 21 ott 2016, 20:31

Non torna comunque :oops:
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Talete
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Re: Sviluppi in serie di Taylor di funzioni composte

Messaggio da Talete » 21 ott 2016, 20:40

Come no? Wait... chiamo $w=x-1$, ok? Allora $y-1=w^2+2w$.

\[\frac1{1+y}=\frac12-\frac14(y-1)+\frac18(y-1)^2+o((y-1)^2)=\frac12-\frac14w^2-\frac12w+\frac18w^4+\frac12w^2+\frac12w^3+o(w^2).\]

Se ora togli i termini in $w^4$ e $w^3$, ti rimangono

\[\frac12-\frac12w+\frac14w^2+o(w^2),\]

che è proprio quello che volevi, giusto?

EDIT: mi viene richiesto privatamente di provare a fare i conti anche senza il cambio di variabile. Sarò più schietto e me ne fregherò dell'$o$ piccolo di $(x-1)^2$ e di tutte le cose della forma $(x-1)^a$ con $a>2$ (che alla fin fine sono $o$ piccolo di $(x-1)^2$).

\[\frac1{1+y}=\frac12-\frac14(x^2-1)+\frac18(x^2-1)^2=\frac12-\frac14 (x-1)(x-1+2)+\frac18 (x-1)^2(x-1+2)^2,\]

dove ho scomposto $x^2-1=(x-1)(x+1)=(x-1)(x-1+2)$. Ora questo è uguale a

\[\frac12-\frac14 (x-1)^2-\frac12(x-1)+\frac18(x-1)^4+\frac12 (x-1)^3+\frac12 (x-1)^2=\frac12-\frac12(x-1)+\frac14(x-1)^2,\]

che è quel che desideri.
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Re: Sviluppi in serie di Taylor di funzioni composte

Messaggio da EvaristeG » 22 ott 2016, 02:10

polarized ha scritto:Però $g(x)$ è già "sviluppata"
Eh no. E' sviluppata attorno a $0$ non a $1$.
Lo sviluppo di Taylor al $n$-esimo ordine ($n\geq 3$) di $g(x)=x^2$ attorno a $x_0=1$ è
$$g(x)=g(1)+(x-1)g'(1)+\dfrac{(x-1)^2}{2}g''(1)$$
(e basta perché le derivate successive alla seconda sono $0$) e dunque
$$g(x)=1+2(x-1)+(x-1)^2$$
da cui
$$f(g(x))=\dfrac12 - \dfrac14 (g(x)-1) +\dfrac18 (g(x)-1)^2+o((g(x)-1)^2)$$
Intanto notiamo che $g(x)-1=2(x-1)+o((x-1))$ e dunque possiamo sostituire l'$o$-piccolo con $o((x-1)^2)$. E ancora
$$(g(x)-1)^2=4(x-1)^2+o((x-1)^2)$$
e dunque se vogliamo sviluppare al secondo ordine ci basta questo:
$$f(g(x))=\dfrac12 - \dfrac14(2(x-1)+(x-1)^2)+\dfrac18 4(x-1)^2+o((x-1)^2)$$
che fa quello che vuoi.

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Re: Sviluppi in serie di Taylor di funzioni composte

Messaggio da polarized » 23 ott 2016, 20:36

Grazie mille a entrambi, molto chiari!
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