Fra quanti anni pagheremo tutti 100€ di affitto?

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Lagnuso
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Iscritto il: 18 dic 2020, 01:42

Fra quanti anni pagheremo tutti 100€ di affitto?

Messaggio da Lagnuso » 18 dic 2020, 02:04

Cari tutti, vi propongo questo quesito ispirato da una storia vera.
Un'amministrazione locale, per far fronte al caro degli affitti, ha istituito la seguente norma.
Tutti i nuovi contratti di affitto non possono ammontare, in prezzo mensile al metro quadro, a piú della media attuale.
In tal modo, il prezzo medio degli affitti non può che diminuire con il tempo.
(Questa legge è recentemente entrata in vigore in Catalogna.)
Supponiamo che ad intervalli periodici l'amministratore ricomputi i prezzi medi e ripeta la procedura.
Chiaramente, se ripetiamo questo processo un numero sufficiente di volte (per esempio, una volta l'anno), tutti i prezzi si "appiattiranno" prima o poi verso il prezzo minimo... ma quanti anni dovremmo aspettare?

Ok, formalizzo meglio il problema e lo astraggo un po', nella speranza che vi incuriosisca e vi faccia passare qualche minuto o ora di divertimento, come ha fatto con me.

Sia [math] una matrice con [math] colonne (indice [math]) ed infinite righe (indice [math]).
La prima riga [math] è formata da [math] variabili aleatorie i.i.d. distribuite secondo una distribuzione normale [math].
Nella definizione di cui sopra, questa riga indica i prezzi iniziali di [math] case in affitto.
Introduco, per convenienza, la notazione [math] per denotare la variabile aleatoria definita dalla media degli elementi della [math]-esima riga (ovvero il prezzo medio degli affitti al tempo [math]).
Le righe successive alla prima sono definite ricorsivamente dalla relazione [math], che corrisponde al legislatore che interviene ad ogni intervallo di tempo indicizzato da [math], per "tagliare" tutti gli affitti al di sopra della media.
Sia [math] il rapporto tra l'affitto piú alto e quello piú basso pagati al tempo [math].
Sia, infine [math] il primo tempo in cui gli affitti sono "appiattiti" di almeno un fattore [math].
La mia domanda è: quanto vale [math]?
Ovvero, quanti "anni" servono prima che tutti paghiamo un affitto al piú [math] volte piú caro dell'affitto minimo?

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