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che dire sull'integrabilità in $ 0^+ $ della funzione $ f(x)=x^{\alpha}sin(x^{\beta}) $, con $ \alpha, \ \beta \in \mathbb{R}_{<0} $ ?

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Comunque ti suggerisco di usare il fatto che $ \sin x \sim x $ quando x tende a 0...

Se non avete niente da fare e volete fare un esercizio di analisi reale provate a vedere quali di quelle funzioni sono assolutamente continue, di variazione limitata, lipschitziante (sarà scritto giusto?).

hai ragione, è che ho incontrato questo esercizio e mi sembrava comunque interessante.
riguardo al tuo consiglio, se però b<0, sin(x^b) non è piu asintotico a x^b.

L'esercizio è abbastanza standard, ma non del tutto elementare, specie perché si presta a tutte le soluzioni sbagliate possibili .
Piccolo aiutino: fare un cambio di variabili in modo da spostare il problema all'infinito. Ci si riduce quindi all'integrabilità all'infinito di
$ {\displaystyle\frac{\sin x}{x^\gamma}} $
e per questa lo "spartiacque" è $ \gamma=0 $.
Anche le varianti di publiosulpicio sono interessanti.

Xamog ha scritto: Anche le varianti di publiosulpicio sono interessanti.

Tanto che ogni tanto qualcuno le da come tema di concorso per posti di ricercatore d'analisi, mi pare...

EvaristeG ha scritto:Tanto che ogni tanto qualcuno le da come tema di concorso per posti di ricercatore d'analisi, mi pare...

Io mi ero fermato all'ammissione al dottorato.