Topologia: mappe proprie

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publiosulpicio
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Topologia: mappe proprie

Messaggio da publiosulpicio » 17 lug 2008, 11:07

Siano $ X $ e $ Y $ due spazi topologici e sia $ f \colon X \to Y $ una mappa continua, chiusa e tale che la controimmagine di ogni singoletto sia un compatto. Dimostrare che la controimmagine di ogni compatto è compatta.

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ficus2002
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Re: Topologia: mappe proprie

Messaggio da ficus2002 » 16 ago 2008, 00:57

publiosulpicio ha scritto:Siano $ X $ e $ Y $ due spazi topologici e sia $ f \colon X \to Y $ una mappa continua, chiusa e tale che la controimmagine di ogni singoletto sia un compatto. Dimostrare che la controimmagine di ogni compatto è compatta.
Sia $ K\subseteq Y $ un compatto e sia $ U_\alpha :\alpha \in A $ un ricoprimento aperto di $ f^{-1}(K) $.
Per ogni $ x\in K $, $ f^{-1}(x)\subseteq K $ è compatto quindi è possibile estrarre un sottoricoprimento finito $ U_\alpha :\alpha \in A_x $ con $ A_x\subseteq A $ finito.
Per ogni $ x\in K $ sia $ V_x:=\bigcup _{\alpha \in A_x}U_\alpha $; $ V_x $ è un aperto di $ X $ contenente $ f^{-1}(x) $.
Per ogni $ x\in K $ definiamo $ W_x:=Y\setminus f(X\setminus V_x) $; $ W_x $ è un aperto di $ Y $ contenente $ x $. Di conseguenza, $ W_x:x\in K $ è un ricoprimento aperto di $ X $; estraiamo un sottoricoprimento finito $ W_{x_1},\ldots ,W_{x_n} $ di $ K $.
Proviamo che $ U_\alpha :\alpha \in A_{x_1}\cup \cdots \cup A_{x_n} $ è un ricoprimento (finito) di $ f^{-1}(K) $.
Se $ x\in f^{-1}(K) $, allora $ x\in f^{-1}(W_{x_i}) $ per qualche $ i $ in quanto si ha $ f^{-1}(K)\subseteq f^{-1}(W_{x_1})\cup \cdots \cup f^{-1}(W_{x_n}) $.
Di conseguenza,
$ x\in f^{-1}(W_{x_i})=f^{-1}(Y)\setminus f^{-1}f(X\setminus V_{x_i})\subseteq f^{-1}(Y)\setminus (X\setminus V_{x_i})= $
$ =X\setminus (X\setminus V_{x_i})=V_{x_i} $,
pertanto $ x\in U_\alpha $ per qualche $ \alpha \in A_{x_i} $.

P.S. Non ho usato l'ipotesi di continuità di $ f $ :?

publiosulpicio
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Messaggio da publiosulpicio » 16 ago 2008, 17:45

Soluzione sostanzialmente identica alla mia (l'avevo fatta coi chiusi a intersezione vuota invece che coi ricoprimenti), non mi ero neanche accorto di non usare mai la continuità!

EvaristeG
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Re: Topologia: mappe proprie

Messaggio da EvaristeG » 04 set 2008, 19:31

ficus2002 ha scritto: Per ogni $ x\in K $ definiamo $ W_x:=Y\setminus f(X\setminus V_x) $; $ W_x $ è un aperto di $ Y $ contenente $ x $.
Perché è aperto??

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Messaggio da ma_go » 04 set 2008, 19:57

perché $ V_x $ è aperto e la mappa è chiusa?

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 04 set 2008, 22:01

probabilmente sì.

miuemia
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Messaggio da miuemia » 20 ott 2009, 18:00

io invece sto cercando di dimostrare questo esercizio:

$f:M\rightarrow N$ funzione continua fra due spazi topologici.
$f$ è propria se e solo se $\forall z_k$ successione in $M$ tale che $\forall K$ compatto in $M$ si ha che $|\{z_k\in K\}|<oo$ si ha che $\forall H$ compatto in $N$ $|\{f(z_k)\in H\}|<oo$.

dove con $|\{z_k\in K\}|<oo$ intendo dire che la ardinalità dei punti di $z_k$ che appartengono a $K$ è finita
e stessa cosa per $|\{f(z_k)\in H\}|<oo>) ma non riesco a dimostrare (<=) mi potreste consigliare???

grazie

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karlosson_sul_tetto
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Messaggio da karlosson_sul_tetto » 20 ott 2009, 19:08

miuemia ha scritto:io invece sto cercando di dimostrare questo esercizio:

$f:M\rightarrow N$ funzione continua fra due spazi topologici.
$f$ è propria se e solo se $\forall z_k$ successione in $M$ tale che $\forall K$ compatto in $M$ si ha che $|\{z_k\in K\}|<oo$ si ha che $\forall H$ compatto in $N$ $|\{f(z_k)\in H\}|<oo$.

dove con $|\{z_k\in K\}|<oo$ intendo dire che la ardinalità dei punti di $z_k$ che appartengono a $K$ è finita
e stessa cosa per $|\{f(z_k)\in H\}|<oo>) ma non riesco a dimostrare (<=) mi potreste consigliare???

grazie
Non per fare il pignolo,ma adesso il latex non si mette usando i simboli "$",ma con il pulsante in alto a destra ($ [tex] $).
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miuemia
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Messaggio da miuemia » 20 ott 2009, 19:23

io invece sto cercando di dimostrare questo esercizio:

$ f:M\rightarrow N $ funzione continua fra due spazi topologici.
f è propria se e solo se $ \forall z_k $ successione in M tale che $ \forall K $ compatto in M si ha che $ |\{z_k\in K\}|<\infty $ si ha che $ \forall H $ compatto in N $ |\{f(z_k)\in H\}|<\infty $.

dove con $ |\{z_k\in K\}|<\infty $ intendo dire che la ardinalità dei punti di $ z_k $ che appartengono a K è finita
e stessa cosa per $ |\{f(z_k)\in H\}|<\infty $ ma non riesco a dimostrare (<=) mi potreste consigliare???

grazie

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