OliForum Matematico

Sia $ I $ l'intervallo chiuso $ [0,1] $. Determinare tutte le funzioni surgettive $ f: I \rightarrow I $ che non aumentano le distanze, ovvero tali che $ |f(x)-f(y)| \leq |x-y| $ per ogni x, y appartenenti a I

Sia T il sottoinsieme del piano costituito dai 3 lati (vertici compresi) di un triangolo scaleno. Determinare tutte le funzioni surgettive $ f : T \rightarrow T $ tali che $ dist(f(P),f(Q)) \leq dist(P,Q) $ per ogni P,Q appartenente a T.

come mai è in matematica non elementare? La prima parte si può fare tranquillamente in modo elementare ed anche la seconda credo

Come?

Io per la prima ho utilizzato la derivata. Tu come hai fatto?

allora ecco come ho fatto io: poichè f è surgettiva allora esisteranno $ k,h $
tali che $ f(k)=1,f(h)=0 $. Sostituendo troviamo che $ |k-h|\ge 1 $, ma poiche $ 0\le h,k\le 1 $ l'unica possibilità è $ k=0,h=1 $ o $ k=1,h=0 $, ovvero che $ f(0)=0,f(1)=1 $ o viceversa. Se ora sostituiamo y=0 e y=1 troviamo $ |f(x)-f(0)|\le x $ e $ |f(x)-f(1)|\le x-1 $. Sostituendo i possibili valori di f(0) e f(1) troviamo nel primo caso $ f(x)\le x $ e $ f(x)\ge x $,quindi $ f(x)=x $.
Nel secondo caso troviamo $ f(x)\le 1-x $ e $ f(x)\ge 1-x $, quindi $ f(x)=1-x $ e cosi dovrei aver concluso.
Tutto questo solo perchè non so ancora niente di integrali e derivati, quindi devo trovare metodi alternativi.

Per il secondo punto forse sono io che ho capito male, ma mi sembra impossibile che la funzione sia surgettiva

Il primo punto viene anche a me così, per il secondo anch'io mi sono trovato in difficoltà. Il testo però l'ho copiato pari pari

Io ho dato una soluzione pseudo geometrica.

Chiamiamo ABC il triangolo contenente i punti di T. Il triangolo è scaleno, quindi un lato sarà maggiore degli altri 2, diciamo BC. Prendendo le varie possibilità, si vede che la massima distanza fra 2 punti all'interno del triangolo è proprio il lato maggiore; quindi, i punti a cui sono associati B e C devono essere per forza B e C . Ci sono 2 possibilità:

1) ad A è associato A e a B è associato B: in questo caso si vede che tutti i punti di BC devono corrispondere a se stessi; infatti se ad un punto P fosse associato un'altro punto di BC o uno degli altri due lati la sua distanza da almeno uno dei due vertici aumenterebbe. Si verifica poi che il terzo vertice A deve essere associato a se stesso (perché qualsiasi altro punto non potrebbe essere associato ad A, altrimenti la sua distanza da almeno uno dei due vertici B o C aumenterebbe). Segue che la trasformazione f è l'identità.

2) ad A è associato B e a B è associato A. In questo caso è evidente che nessun punto potrebbe essere associato ad A (nemmeno A) perché altrimenti aumenterebbe la sua distanza da almeno uno dei due vertici (ovviamente si verifica anche questo geometricamente.) Quindi questo caso è impossibile.

Quindi l'unica funzione possibile è l'idendità

mrossi ha scritto:Io per la prima ho utilizzato la derivata.

Sei consapevole dell'esistenza di funzioni non derivabili, vero?

Pairo ha scritto: Quindi l'unica funzione possibile è l'idendità

Io continuo a non capire come sia possibile che la funzione sia surgettiva. Mi spiego meglio: se con T intendiamo tutti i punti appartenenti ai 3 lati di coordinate (x,y) avremo che ogni coordinata x (escluse quelle dei 2 estremi più esterni) individua 2 punti. Pertanto se f fosse surgettiva l'immagine avrebbe cardinalità maggiore del dominio,assurdo. Ora dov'è che sbaglio in questo ragionamento?

Maioc92 ha scritto:Ora dov'è che sbaglio in questo ragionamento?

Che adoperi una definizione di surgettività incomprensibile. Quindi, giustamente, non la comprendi. Sai cosa significa che una funzione $ f:A\rightarrow B $ è surgettiva?

P.S. Sbagli anche il discorso sulle cardinalità, ma ci torniamo dopo.

che la sua immagine corrisponde al codominio? Finora l'ho sempre intesa cosi.....

$ ~f: X\to Y $ dicesi funzione surriettiva, se ad ogni elemento di X associa un solo elemento di Y (funzione) e ogni elemento di Y e' immagine di un elemento di X (surriettivita')

Maioc92 ha scritto:che la sua immagine corrisponde al codominio? Finora l'ho sempre intesa cosi.....

Sì. Cioè, che la sua immagine è il codominio.
In generale vuol dire che l'immagine di f è B. Quindi, per ogni punto b di B esiste un punto a in A tale che f(a)=b.
Nel caso del problema, dominio e codominio sono T, e T è un insieme di punti del piano formato dai 3 lati di un triangolo. Quindi per ogni punto P di 'sto triangolo, deve esistere un punto P' del triangolo tale che f(P')=P. Ora vedi bene che l'identità soddisfa banalmente questa condizione.

Se è chiaro questo, passiamo a discutere di cardinalità.

allora mi ero preso un abbaglio...non tanto per la surgettività quanto per come avevo inteso il problema. Io pensavo che la funzione riguardasse le coordinate dei punti e non i punti stessi, cioè pensavo che come nel piano cartesiano f(x) fosse la coordinata y del punto
Ora ho capito grazie

Infatti penso che questo sia uno dei famigerati problemi di comprensione del testo in matematichese. Una volta capito il testo, non c'è molto da ragionare.

Sulla cardinalità: qualsiasi insieme infinito X ha la stessa cardinalità di sé stesso "raddoppiato". Detto più precisamente, $ $|X| = |\{0,1\}\times X| $.
Dimostralo per esercizio nel caso molto facile in cui $ $X=\mathbb N $.

Bonus: Sia $ A $ l'area di piano racchiusa dentro il triangolo, trovare tutte le funzioni $ f: A \to A $ con le stesse ipotesi di prima.