z reale <=> z^15, z^221 reali

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ale.b
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z reale <=> z^15, z^221 reali

Messaggio da ale.b »

Sia $ z \in \mathbb C $. Dimostrare che:

$ z \in \mathbb R $ se e solo se $ z^{15}, z^{221} \in \mathbb R $
sasha™
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Re: z reale <=> z^15, z^221 reali

Messaggio da sasha™ »

Be', è facile.
Testo nascosto:
Se $z ∈ R$, anche le sue potenze sono reali. Ora, il rapporto fra due reali è un reale, e la potenza di un reale è un reale.
$$\frac{z^{221}}{(z^{15})^{14}} = z ∈ R$$

Segue immediatamente la tesi.
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SkZ
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Re: z reale <=> z^15, z^221 reali

Messaggio da SkZ »

ma 221=15*14+11

io userei che $z=r\cdot e^{i\theta}$ e il fatto che $(221,15)=1$
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]

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sasha™
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Re: z reale <=> z^15, z^221 reali

Messaggio da sasha™ »

Fantastico, non so più fare le moltiplicazioni. Be', basta proseguire, credo. $z^{11}$ è reale, quindi anche $\frac{z^{15}}{z^{11}} = z^4$, quindi anche $\frac{z^{11}}{{z^{4}}^2} = z^3$ e quindi anche $z$... Vado a nascondermi per la figuraccia, intanto.

EDIT: Meglio ancora, dal fatto che sono coprimi, allora esistono m, n, tali che 221m - 15n = 1, quindi
$$\frac{z^{221m}}{z^{15n}} = z ∈ R$$
Claudio.
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Re: z reale <=> z^15, z^221 reali

Messaggio da Claudio. »

Se non sbaglio sasha non ha dimostrato il se e solo se...
EvaristeG
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Re: z reale <=> z^15, z^221 reali

Messaggio da EvaristeG »

beh non penso che la freccia "z reale => potenze di z reali" sia da dimostrare...
Claudio.
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Re: z reale <=> z^15, z^221 reali

Messaggio da Claudio. »

INfatti nel problema la freccia è al contrario :roll:
Edit: scusate avevo capito male ciò che ha fatto sasha.
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