Bacinelle e travasi

[Anér]

Abbiamo due bacinelle di capienza 1, di cui la prima, che chiamiamo A, è piena di succo d'arancia, mentre la seconda, che chiamiamo B, è riempita con acqua. Alberto e Barbara fanno questo gioco: prendono una quantità di fluido dalla bacinella A e la buttano via, quindi prendono altrettanta acqua da B e la travasano in A, in modo che A ritorni piena, e ripetono alcune volte l'operazione (cambiando eventualmente di volta in volta le quantità in gioco), fino a quando la bacinella B rimane vuota. Determinare la più piccola costante k tale che alla fine in A il succo d'arancia rimasto è in quantità minore o uguale a k.

[dario2994]

Bon... dimostro che $k=\frac1e$
Assumo di fare $n$ travasi. Le quantità che travaso sono: $t_1,t_2,\dots t_n$, banalmente $\displaystyle\sum_{i=1}^n t_i=1$.
Mostro per induzione che dopo l'm-esimo travaso la quantità di succo d'arancia presente è: $\displaystyle\prod_{i=1}^m(1-t_i)$.
Il passo base è ovvio, dato che il prodotto vuoto è 1 che è la quantità iniziale. Se dopo l'm-esimo travaso ho z succo d'arancia, dopo l'm+1-esimo ne avrò esattamente:
$\displaystyle z-z\cdot t_{m+1}=z(1-t_{m+1})$
Da cui usando l'ipotesi induttiva $z=\displaystyle\prod_{i=1}^m(1-t_i)$ ottengo la tesi d'induzione.

Perciò alla fine avrò: $\displaystyle\prod_{i=1}^n(1-t_i)$ che devo massimizzare sotto il vincolo $\displaystyle\sum_{i=1}^n t_i=1$... uso AM-GM:
$\displaystyle\prod_{i=1}^n(1-t_i)\le \left(\frac{\sum_{i=1}^n1-t_i}{n}\right)^n=\left(\frac{n-1}n\right)^n<\frac1e$
L'ultima disuguaglianza è lecita poichè siamo in MNE
Inoltre non posso scegliere un k minore poichè per n grande e $\forall i:\ t_i=\frac1n$ ottengo che la quantità finale si avvicina sempre più a $\frac1e$