Vi propongo un problema di cui mi ha parlato un collega; premetto che non conosco la soluzione.
Data una parabola e una retta secante perpendicolare all'asse di simmetria della parabola, si consideri la famiglia di circonferenze tangenti contemporaneamente alla retta e alla parabola medesima. Determinare il luogo dei centri delle circonferenze della famiglia.
Facendo un disegno "sembra" una coppia di parabole, ma provando a impostare una soluzione analitica si ricava una quartica che parrebbe non riducibile in maniera elementare.
Generalizzazione: cosa accade se la retta NON è perpendicolare all'asse della parabola? In questo caso il problema si complica ulteriormente.
Circonferenze inscritte in un segmento di parabola
Circonferenze inscritte in un segmento di parabola
[tex]A \epsilon \iota \quad o \quad \theta \epsilon o \varsigma \quad o \quad \mu \epsilon \gamma \alpha \varsigma \quad \gamma \epsilon \omega \mu \epsilon \tau \rho \epsilon \iota \quad (\Pi \lambda \alpha \tau \omega \nu)[/tex]
Re: Circonferenze inscritte in un segmento di parabola
Ho trovato una costruzione.
Sia F il fuoco della parabola, r la retta secante (non necessariamente la parallela)
Prendo P sulla conica (nel semipiano di origine r dalla stessa parte di F), costruisco la tangente t per P (so farlo, è la bisettrice dell'angolo $ \angle FPH_P $ se $ H_P $ è la proiezione di P sulla direttrice) e la perpendicolare ad essa per P. Sia inoltre $ Q=t \cap r $. Costruisco la circonferenza di centro Q e raggio QP, sia R la sua intersezione con r internamente alla parabola. Costruisco la perpendicolare ad r per R: sia O l'intersezione di questa con la perpendicolare a t da P. Allora la circonferenza di centro O e raggio OP tange sia r che la parabola, infatti OR e OP sono congruenti in quanto tangenti alla circonferenza di centro Q passante per P e sono inoltre perpendicolari a r e t per costruzione.
Usando questa su geogebra si vede che la curva non è una conica (anche se assomiglia molto ad un ramo di parabola), neanche nel caso di parallelismo.
Sia F il fuoco della parabola, r la retta secante (non necessariamente la parallela)
Prendo P sulla conica (nel semipiano di origine r dalla stessa parte di F), costruisco la tangente t per P (so farlo, è la bisettrice dell'angolo $ \angle FPH_P $ se $ H_P $ è la proiezione di P sulla direttrice) e la perpendicolare ad essa per P. Sia inoltre $ Q=t \cap r $. Costruisco la circonferenza di centro Q e raggio QP, sia R la sua intersezione con r internamente alla parabola. Costruisco la perpendicolare ad r per R: sia O l'intersezione di questa con la perpendicolare a t da P. Allora la circonferenza di centro O e raggio OP tange sia r che la parabola, infatti OR e OP sono congruenti in quanto tangenti alla circonferenza di centro Q passante per P e sono inoltre perpendicolari a r e t per costruzione.
Usando questa su geogebra si vede che la curva non è una conica (anche se assomiglia molto ad un ramo di parabola), neanche nel caso di parallelismo.