valor medio

[max tre]

per dimostrare che il valor medio di $ \cos^2x $ è $ \frac{1}{2} $, a livello scolastico, può essere sufficiente dire che per ogni $ x_1=\frac{\pi}{4}+h $ si ha un $ x_2=\frac{\pi}{4}-h $ tale che $ \cos^2x_1+\cos^2x_2=1 $?

[paga92aren]

Non so esattamente cosa si intende per valor medio ma io intendo la media aritmetica dei valori della funzione $\frac{\int f(x)dx}{\Delta x}$.
Per la nostra funzione, che ha periodo $\pi$ posso prendere in considerazione solo l'intervallo $[0,\pi]$ e quindi devo calcolare $\frac{\int_0^{\pi}\cos^2 x\; dx}{\Delta x}$ calcolo prima l'integrale indefinito $\int \cos^2 x\; dx=\int \frac{1+\cos 2x}{2}dx=\int \frac{1}{2}dx +\frac{1}{4}\int 2\cos 2x \;dx = \frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}$
Il valor medio è $\frac{\frac{\pi}{2}+\sin 2\pi - \frac{0}{2}- \sin 0}{\pi}=\frac{1}{2}$

[ma_go]

mi piace molto di più l'idea di max tre, sinceramente, visto che usa solo il cambio di variabile, oltretutto solo per funzioni lineari (e quindi in maniera molto leggera).

e poi, *secondo me* a livello scolastico, può andar bene dire "l'area sotto la curva non cambia se sostituisci $\pi/2-x$ con $x$ (e cambi gli intervalli in modo opportuno)": basta che ci si metta un caveat tipo "questa non è una dimostrazione vera e propria, ma usando il cambio di variabile si dimostra esattamente quello che mi serve per farla diventare una dimostrazione".

[max tre]

si, la mia voleva essere solo una verifica, diciamo
è che nel mio libro di fisica subito dopo la legge di malus scrivono che l'intensità trasmessa di un fascio non polarizzato è $ I=\frac{1}{2}I_o $ perché "il valore medio di $ \cos^2\theta $ è $ \frac{1}{2} $" quindi volevo capirne un po' di più

[max tre]

visto che la cosa non pare così evidente, ancora un paio di domande:
posso dire che, limitandomi a $ [0;\frac{\pi}{2}] $ e presi $ \frac{\pi}{4}\geq h_1>h_2>h_3>...>h_n\geq 0 $ posso chiamare gli angoli minori di $ \frac{\pi}{4} $ $ x_i=\frac{\pi}{4}-h_i $ e quelli maggiori $ y_i=\frac{\pi}{4}+h_i $ il valore medio è $ v_m=\frac{\cos^2x_1+\cos^2x_2+...+\cos^2x_n+\cos^2y_1+\cos^2y_2+...+\cos^2y_n}{2n}=\frac{(\cos^2x_1+\cos^2y_1)+(\cos^2x_2+\cos^2y_2)+...+(\cos^2x_n+\cos^2y_n)}{2n}=\frac{1+1+...+1}{2n}=\frac{n}{2n}=\frac{1}{2} $
perché forse funziona solo in maniera intuitiva, visto che la definizione $ v_m=\Sigma_{i=1}^\infty p_i X_i $ (qui avremmo che tutte le p sono uguali tra di loro, credo) dovrebbe valore solo per le X che appartengono a un insieme finito o comunque numerabile, e non so come funzioni quando si estende ai reali
in alternativa, il fatto che la somma $ \cos^2x_1+\cos^2y_1 $ sia costante e sia uguale a 1 non è sufficiente a dire che nell'intervallo $ [0;\frac{\pi}{2}] $ la funzione $ \cos^2x $ è simmetrica rispetto a $ P(\frac{\pi}{4};\frac{1}{2}) $ e che quindi posso "traslare" l'area sotto la funzione in $ [\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}] $ nella parte compresa tra la curva e la retta $ y=1 $ in $ [0;\frac{\pi}{4}] $; ottenendo che l'area totale sotto la curva è $ 1*\frac{\pi}{4}=\frac{1}{2}*\frac{\pi}{2} $, cioè l'area del rettangolo di altezza $ \frac{1}{2} $, come da definizione di "valor medio" data dalla mia prof