valor medio
valor medio
per dimostrare che il valor medio di $ \cos^2x $ è $ \frac{1}{2} $, a livello scolastico, può essere sufficiente dire che per ogni $ x_1=\frac{\pi}{4}+h $ si ha un $ x_2=\frac{\pi}{4}-h $ tale che $ \cos^2x_1+\cos^2x_2=1 $?
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Re: valor medio
Non so esattamente cosa si intende per valor medio ma io intendo la media aritmetica dei valori della funzione $\frac{\int f(x)dx}{\Delta x}$.
Per la nostra funzione, che ha periodo $\pi$ posso prendere in considerazione solo l'intervallo $[0,\pi]$ e quindi devo calcolare $\frac{\int_0^{\pi}\cos^2 x\; dx}{\Delta x}$ calcolo prima l'integrale indefinito $\int \cos^2 x\; dx=\int \frac{1+\cos 2x}{2}dx=\int \frac{1}{2}dx +\frac{1}{4}\int 2\cos 2x \;dx = \frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}$
Il valor medio è $\frac{\frac{\pi}{2}+\sin 2\pi - \frac{0}{2}- \sin 0}{\pi}=\frac{1}{2}$
Per la nostra funzione, che ha periodo $\pi$ posso prendere in considerazione solo l'intervallo $[0,\pi]$ e quindi devo calcolare $\frac{\int_0^{\pi}\cos^2 x\; dx}{\Delta x}$ calcolo prima l'integrale indefinito $\int \cos^2 x\; dx=\int \frac{1+\cos 2x}{2}dx=\int \frac{1}{2}dx +\frac{1}{4}\int 2\cos 2x \;dx = \frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}$
Il valor medio è $\frac{\frac{\pi}{2}+\sin 2\pi - \frac{0}{2}- \sin 0}{\pi}=\frac{1}{2}$
Re: valor medio
mi piace molto di più l'idea di max tre, sinceramente, visto che usa solo il cambio di variabile, oltretutto solo per funzioni lineari (e quindi in maniera molto leggera).
e poi, *secondo me* a livello scolastico, può andar bene dire "l'area sotto la curva non cambia se sostituisci $\pi/2-x$ con $x$ (e cambi gli intervalli in modo opportuno)": basta che ci si metta un caveat tipo "questa non è una dimostrazione vera e propria, ma usando il cambio di variabile si dimostra esattamente quello che mi serve per farla diventare una dimostrazione".
e poi, *secondo me* a livello scolastico, può andar bene dire "l'area sotto la curva non cambia se sostituisci $\pi/2-x$ con $x$ (e cambi gli intervalli in modo opportuno)": basta che ci si metta un caveat tipo "questa non è una dimostrazione vera e propria, ma usando il cambio di variabile si dimostra esattamente quello che mi serve per farla diventare una dimostrazione".
Re: valor medio
si, la mia voleva essere solo una verifica, diciamo
è che nel mio libro di fisica subito dopo la legge di malus scrivono che l'intensità trasmessa di un fascio non polarizzato è $ I=\frac{1}{2}I_o $ perché "il valore medio di $ \cos^2\theta $ è $ \frac{1}{2} $" quindi volevo capirne un po' di più
è che nel mio libro di fisica subito dopo la legge di malus scrivono che l'intensità trasmessa di un fascio non polarizzato è $ I=\frac{1}{2}I_o $ perché "il valore medio di $ \cos^2\theta $ è $ \frac{1}{2} $" quindi volevo capirne un po' di più
Re: valor medio
visto che la cosa non pare così evidente, ancora un paio di domande:
posso dire che, limitandomi a $ [0;\frac{\pi}{2}] $ e presi $ \frac{\pi}{4}\geq h_1>h_2>h_3>...>h_n\geq 0 $ posso chiamare gli angoli minori di $ \frac{\pi}{4} $ $ x_i=\frac{\pi}{4}-h_i $ e quelli maggiori $ y_i=\frac{\pi}{4}+h_i $ il valore medio è $ v_m=\frac{\cos^2x_1+\cos^2x_2+...+\cos^2x_n+\cos^2y_1+\cos^2y_2+...+\cos^2y_n}{2n}=\frac{(\cos^2x_1+\cos^2y_1)+(\cos^2x_2+\cos^2y_2)+...+(\cos^2x_n+\cos^2y_n)}{2n}=\frac{1+1+...+1}{2n}=\frac{n}{2n}=\frac{1}{2} $
perché forse funziona solo in maniera intuitiva, visto che la definizione $ v_m=\Sigma_{i=1}^\infty p_i X_i $ (qui avremmo che tutte le p sono uguali tra di loro, credo) dovrebbe valore solo per le X che appartengono a un insieme finito o comunque numerabile, e non so come funzioni quando si estende ai reali
in alternativa, il fatto che la somma $ \cos^2x_1+\cos^2y_1 $ sia costante e sia uguale a 1 non è sufficiente a dire che nell'intervallo $ [0;\frac{\pi}{2}] $ la funzione $ \cos^2x $ è simmetrica rispetto a $ P(\frac{\pi}{4};\frac{1}{2}) $ e che quindi posso "traslare" l'area sotto la funzione in $ [\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}] $ nella parte compresa tra la curva e la retta $ y=1 $ in $ [0;\frac{\pi}{4}] $; ottenendo che l'area totale sotto la curva è $ 1*\frac{\pi}{4}=\frac{1}{2}*\frac{\pi}{2} $, cioè l'area del rettangolo di altezza $ \frac{1}{2} $, come da definizione di "valor medio" data dalla mia prof
posso dire che, limitandomi a $ [0;\frac{\pi}{2}] $ e presi $ \frac{\pi}{4}\geq h_1>h_2>h_3>...>h_n\geq 0 $ posso chiamare gli angoli minori di $ \frac{\pi}{4} $ $ x_i=\frac{\pi}{4}-h_i $ e quelli maggiori $ y_i=\frac{\pi}{4}+h_i $ il valore medio è $ v_m=\frac{\cos^2x_1+\cos^2x_2+...+\cos^2x_n+\cos^2y_1+\cos^2y_2+...+\cos^2y_n}{2n}=\frac{(\cos^2x_1+\cos^2y_1)+(\cos^2x_2+\cos^2y_2)+...+(\cos^2x_n+\cos^2y_n)}{2n}=\frac{1+1+...+1}{2n}=\frac{n}{2n}=\frac{1}{2} $
perché forse funziona solo in maniera intuitiva, visto che la definizione $ v_m=\Sigma_{i=1}^\infty p_i X_i $ (qui avremmo che tutte le p sono uguali tra di loro, credo) dovrebbe valore solo per le X che appartengono a un insieme finito o comunque numerabile, e non so come funzioni quando si estende ai reali
in alternativa, il fatto che la somma $ \cos^2x_1+\cos^2y_1 $ sia costante e sia uguale a 1 non è sufficiente a dire che nell'intervallo $ [0;\frac{\pi}{2}] $ la funzione $ \cos^2x $ è simmetrica rispetto a $ P(\frac{\pi}{4};\frac{1}{2}) $ e che quindi posso "traslare" l'area sotto la funzione in $ [\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}] $ nella parte compresa tra la curva e la retta $ y=1 $ in $ [0;\frac{\pi}{4}] $; ottenendo che l'area totale sotto la curva è $ 1*\frac{\pi}{4}=\frac{1}{2}*\frac{\pi}{2} $, cioè l'area del rettangolo di altezza $ \frac{1}{2} $, come da definizione di "valor medio" data dalla mia prof