Derivata n-esima di funzione composta

[afullo]

Questo problema mi è venuto provando a risolvere un esercizio assegnatomi al corso di Processi Stocastici, preciso viste le indicazioni di questa sezione, non è per uno scopo universitario, in quanto l'esercizio che dovrò consegnare al professore l'ho poi dimostrato attraverso un altro metodo, però questo approccio potrebbe avere degli spunti interessanti più in generale.

Si tratterebbe di quanto segue.

Si consideri la funzione:

$ f(\theta, x, t) = e^{\theta x - \theta^2 \frac{t}{2}} $

Si dimostri che:

$ \frac{\partial^n}{\partial \theta^n} f(0,x,t) = \sum_{i=0}^n a_{n,i} \cdot t^{\frac{n-i}{2}} \cdot x^i $

con:

$ a_{n,k} = \chi_{2\mathbb{N}}(n-k) \cdot \binom{n}{k} \cdot (n-k-1)!! \cdot (-1)^{\frac{n-k}{2}} $

dove $ \chi_{2\mathbb{N}} $ è la funzione caratteristica dei numeri pari, che vale $1$ se l'argomento è pari, $0$ se l'argomento è dispari.

Visto che c'è di mezzo la derivata $n$-esima di una funzione composta immagino c'entri la formula di Faa di Bruno...