Geodetica geometria iperbolica

[paga92aren]

1) Volevo sapere se esiste una dimostrazione semplice del fatto che nel modello di Klein (http://it.wikipedia.org/wiki/Geometria_iperbolica) la geodetica è un segmento.
2) Inoltre mi servirebbe la formula della distanza del disco di Poincaré bidimensionale.
3) Infine la stessa domanda del punto 1, ma relativa al disco di Poincaré e con geodetica l'arco di circonferenza perpendicolare a quella data.
Grazie in anticipo

[Nonno Bassotto]

Disclaimer: nel rispondere sto assumendo che tu conosca un po' di geometria Riemanniana. Se questa risposta è completamente incomprensibile, probabilmente sarà necessario che tu spieghi un po' cosa sai di geometria iperbolica, geodetiche ecc.

Per prima cosa puoi notare che le domande 1 e 3 sono equivalenti, dato che l'isometria tra il modello di Klein e quello di Poincaré manda segmenti in archi di circonferenza perpendicolari al bordo, e viceversa.

In ogni caso per fare sia 1 che 3 è sufficiente fare le seguenti verifiche (per semplicità le scrivo nel caso 1):
1) dato un punto interno al disco e un vettore tangente in quel punto, esiste un unico segmento che passa per quel punto ed ha la direzione del vettore tangente assegnato (questo è ovvio)
2) i segmenti sono effettivamente geodetiche (questo richiede un conto, ma è molto semplice)
3) dato un punto interno al disco e un vettore tangente in quel punto, esiste un'unica geodetica che passa per quel punto ed ha la direzione del vettore tangente (questo è standard, ed è una conseguenza immediata della definizione di geodetica e del teorema di esistenza e unicità locale per equazioni differenziali ordinarie).

Mettendo insieme le tre cose, viene fuori che i segmenti sono tutte e sole le geodetiche.

[paga92aren]

Grazie mille, io faccio il liceo quindi capisco qualcosa ma non tutto.
Vorrei dettagli sui conti del tuo punto 2 (come impostarli) e poi la formula richiesta da me nel punto 2 (abbastanza necessaria per fare i conti nell'altro caso)

[Nonno Bassotto]

Qual è la tua definizione di geodetica? Se per te è una curva che soddisfa una certa equazione differenziale del secondo ordine che coinvolge i simboli di Christoffel, è facile. Si tratta di sostituire un'opportuna parametrizzazione del segmento e verificare che l'equazione è soddisfatta.

Il problema è se invece come definizione prendi una curva che minimizza localmente la distanza fra due punti. In questo caso c'è tutta una parte di teoria - non banale con la matematica del liceo - che fa vedere appunto che questa condizione è espressa dall'equazione differenziale di sopra. La teoria coinvolta si chiama calcolo delle variazioni, e permette di caratterizzare le funzioni che minizzano certe quantità - ad esempio trovare la curva che unisce due punti A e B con la seguente proprietà: una pallina posta in A che rotoli lungo la curva fino ad arrivare in B impiega il minor tempo possibile.

Non saprei come evitare la geometria differenziale e il calcolo delle variazioni e dare una dimostrazione del tutto elementare delle cose che ti interessano. Anche perché dare una definizione precisa del piano iperbolico richiede un po' di matematica non banale (non si può immergere come superficie in R^3, quindi è necessario parlare di metriche su una superficie in astratto). Ma magari qualcuno più esperto di me conosce una formulazione elementare di questi fatti.