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EvaristeG
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Congruenze PLUS

Messaggio da EvaristeG »

1. Siano $p$ un primo, $q(x)$ un polinomio irriducibile in $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[x]$, allora
$$\mathbb{K}=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[x]/(q(x))$$
ovvero l'insieme dei resti delle divisioni per $q(x)$ con le operazioni modulo $q(x)$, è un campo.

2. Se $\alpha$ è una radice del polinomio $q(x)$ (cioè è un simbolo tale che $q(\alpha)=0$), allora
$$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}(\alpha)=\mathbb{K}$$

3. Se $h(x)$ è un polinomio in $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[x]$ tale che $h(\alpha)=0$, allora $q(x)\vert h(x)$.

4. $q(x)\vert x^{p^n}-x$ se e solo se $\deg q(x)\vert n$.

5. Le radici di $q(x)$ sono $\alpha, \alpha^p,\ldots, \alpha^{p^{m-1}}$, con $m=\deg q(x)$.
ma_go
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Re: Congruenze PLUS

Messaggio da ma_go »

6. dimostrare che in $\mathbb{F}_p[x]$ c'e' (almeno) un polinomio irriducibile per ogni grado.

definizione: il campo $\mathbb{K}$ definito nella prima riga da EvaristeG si chiama campo di spezzamento di $q$ su $\mathbb{F}_p$.
'definizione': due campi $\mathbb{K}, \mathbb{K'}$ si dicono isomorfi se esiste una bigezione $\mathbb{K}\to \mathbb{K'}$ che rispetta le operazioni.

7. dimostrare che se $q,r\in \mathbb{F}_p[x]$ sono irriducibili e hanno lo stesso grado, allora i loro campi di spezzamento sono isomorfi.

definizione: chiamiamo $\mathbb{F}_{p^h}$ il campo di spezzamento di un polinomio di grado $h$ su $\mathbb{F}_p$ (che per l'esercizio precedente e' unico a meno di isomorfismo).

8. dimostrare che $\mathbb{F}_{p^h}$ e' isomorfo ad un sottoinsieme di $\mathbb{F}_{p^l}$ se e solo se $h\mid l$.

9. dimostrare che se $\mathbb{K}$ e' un campo finito, allora $\mathbb{K}$ e' isomorfo a $\mathbb{F}_{p^h}$ per qualche $p$ primo, $h$ intero.

e poi basta con la teoria dei campi finiti...
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<enigma>
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Re: Congruenze PLUS

Messaggio da <enigma> »

ma_go ha scritto:9. dimostrare che se $\mathbb{K}$ e' un campo finito, allora $\mathbb{K}$ e' isomorfo a $\mathbb{F}_{p^h}$ per qualche $p$ primo, $h$ intero.
Questo è un classico :)
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"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)
ma_go
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Re: Congruenze PLUS

Messaggio da ma_go »

<enigma> ha scritto:
ma_go ha scritto:9. dimostrare che se $\mathbb{K}$ e' un campo finito, allora $\mathbb{K}$ e' isomorfo a $\mathbb{F}_{p^h}$ per qualche $p$ primo, $h$ intero.
Questo è un classico :)
e' tutto classico.
EvaristeG
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Re: Congruenze PLUS

Messaggio da EvaristeG »

Mah, lo spirito del mio problema era giustificare una affermazione fatta da dario2994 in un altro thread con metodi il più possibile elementari. Infatti i 5 punti che ho richiesto si svolgono con tecniche quasi olimpiche (forse il 4 è un po' più ostico, ma si fa).
Poi, è ovvio che tutta sta roba è teoria di base sui campi finiti, che si trova in qualunque libro di algebra...
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