Posto una quasi soluzione...
Divido in due casi:
1) Se esistono $a,b$ tali che $y(a)=y(b)$ allora per waiestrass la funzione ha massimo e minimo nell'intervallo $[a,b]$. Se il massimo non è agli estremi allora esiste $c$ tale che $y'(c)=0$ e $y''(c)<0$ che contraddice l'ipotesi (lo stesso vale per il minimo), quindi massimo e minimo in $[a,b]$ sono agli estremi e valgono $y(a)$ di conseguenza la funzione è costante in quell'intervallo.
Definisco $b=\sup {x|y(x)=y(a)}$ quindi vale che $\lim_{x\rightarrow b^-}y=y(a)=y(b)$ perché $y$ è continua e quindi $b$ è anche $b=\max{x|y(x)=y(a)}$. Lo stesso vale per il minimo.
Per $x<a$ vale che $y(x)=y(a)$ perché se in un intorno sinistro di $a$ (wlog) $y'>0$ $\Rightarrow$ $y''>0$ quindi $y'$ è crescente, positiva e continua ma in $a$ $y'=0$ che è assurdo.
Quindi $y$ è costante per valori minori di $b$.
[da qui dimostro che è costante anche per valori maggiori, ma non so come e quindi $y=k$]
2) $y$ è iniettiva.
Poiché $y$ è derivabile è anche continua quindi o è strettamente crescente o strettamente decrescente.
Se è strettamente decrescente $y'\leq 0$ anche $y''\leq 0$ quindi $\exists \epsilon>0$ tale che $y'<-\epsilon$. Definisco $g(x)=y+\epsilon x$ quindi $g'(x)=y'+\epsilon <0$ essendo $g(x)$ decrescente vale per $x>0$ $y+\epsilon x<g(0)$ da cui $0<y<-\epsilon x +g(0)$ che è assurdo per $x>\frac{g(0)}{\epsilon}$
Ho quasi concluso manca da concludere il punto 1.
Vi metto qui un problema carino riguardante un'equazione differenziale.
