Come si risolve $f''+f=0$?

[dario2994]

Quali solo le funzioni $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ appartenenti a $C^{2}$ tali che $f''+f=0$ (forse ho sbagliato le ipotesi sulla $f$... nel caso quelle "giuste" siano altre ditelo)

p.s. la questione viene dal moto armonico, e sul libro di fisica non c'è scritto e su internet non ho trovato risposta

[Mist]

Poniamo $f=\sin{(x)}g$. L'equazione di partenza diventa $\cos{(x)}g'+\sin{(x)}g''-\sin{(x)}g+\cos{(x)}g' + \sin{(x)}g = 2\cos{(x)}g'+\sin{(x)}g'' =0$

Quindi $\displaystyle \frac{g''}{g'} = -2\cot{(x)}$. Ora, siccome $\displaystyle \ln{f} = \frac{f'}{f}$, si ha che $\ln{g'} = -2\ln{(\sin{(x)})} +c$ per cui $g= -e^c\cot{(x)}+k$. In conclusione, $f=-h\cos{(x)} +k$ dove $h$ e $k$ sono costanti reali. Spero di non aver detto scemenze, è il secondo tipo di equazione differenziale che vedo in vita mia XD

[<enigma>]

Poniamo $f=\sin{(x)}g$. L'equazione di partenza diventa $\cos{(x)}g'+\sin{(x)}g''-\sin{(x)}g+\cos{(x)}g' + \sin{(x)}g = 2\cos{(x)}g'+\sin{(x)}g'' =0$

Quindi $\displaystyle \frac{g''}{g'} = -2\cot{(x)}$. Ora, siccome $\displaystyle \ln{f} = \frac{f'}{f}$, si ha che $\ln{g'} = -2\ln{(\sin{(x)})} +c$ per cui $g= -e^c\cot{(x)}+k$. In conclusione, $f=-h\cos{(x)} +k$ dove $h$ e $k$ sono costanti reali. Spero di non aver detto scemenze, è il secondo tipo di equazione differenziale che vedo in vita mia XD

...no. A me viene $f(x)=a \cos x+b \sin x$; in generale mi pare che $f(x)=a \sin (kx)+b \cos (ky)$ sia l'integrale generale dell'equazione differenziale $y''+k^2 y=0$.

Bonus: cosa succede se, in $y''+ \ell y=0$, $\ell <0$?

[dario2994]

Poniamo $f=\sin{(x)}g$. L'equazione di partenza diventa $\cos{(x)}g'+\sin{(x)}g''-\sin{(x)}g+\cos{(x)}g' + \sin{(x)}g = 2\cos{(x)}g'+\sin{(x)}g'' =0$

Quindi $\displaystyle \frac{g''}{g'} = -2\cot{(x)}$. Ora, siccome $\displaystyle \ln{f} = \frac{f'}{f}$, si ha che $\ln{g'} = -2\ln{(\sin{(x)})} +c$ per cui $g= -e^c\cot{(x)}+k$. In conclusione, $f=-h\cos{(x)} +k$ dove $h$ e $k$ sono costanti reali. Spero di non aver detto scemenze, è il secondo tipo di equazione differenziale che vedo in vita mia XD

Prima di tutto i miei complimenti Avevo cercato sostituzioni del genere ma mi aveva sempre dato l'idea che si complicasse solo e mi bloccavo prima di fare i calcoli.
Ora passiamo alle critiche, in primis perchè il risultato è sbagliato
Vale $\displaystyle \frac{d\ln{f(x)}}{dx} = \frac{f'}{f}$ non quello che hai scritto tu e poi seguendo i tuoi passaggi si arriva a $f(x)=a\sin(x)+b\cos(x)$ come ha detto enigma (l'errore è nell'ultimo passaggio)

[fph]

Quali solo le funzioni $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ appartenenti a $C^{2}$ tali che $f''+f=0$ (forse ho sbagliato le ipotesi sulla $f$... nel caso quelle "giuste" siano altre ditelo)

Probabilmente visto il tuo background Il modo più semplice di spiegartelo è facendolo come le successioni per ricorrenza.

(i) prima di tutto baro un po' e ti dico che fissati $f'(0)$ e $f(0)$, la soluzione è unica: segue da un teorema di esistenza e unicità, e sta un po' alla base di come si risolvono tutte queste equazioni differenziali. Dimostrarlo è tecnico ma non difficile, ma non è questo il punto --- se nessuno ti ha mai citato questo teorema finora, stavano barando tutti prima di me e quindi posso farlo anch'io.
(ii) nota che una combinazione lineare di soluzioni è ancora soluzione; cioè, date $f_1$ e $f_2$ che risolvono, $af_1+bf_2$ risolve (con condizioni iniziali in generale diverse)
(iii) un uccellino mi ha consigliato di cercare soluzioni della forma $g_k(x)=e^{kx}$, per un qualche $k\in\mathbb{C}$. Sotto quali condizioni su $k$ $g_k(x)$ è soluzione? [Nota: i numeri complessi non li avete mica studiati per sport...]
(iv) per ogni scelta dei valori iniziali $f(0)$ e $f'(0)$ c'è una e una sola funzione del tipo $f(x)=ag_{k_1}(x)+bg_{k_2}(x)$ che prende esattamente quei valori iniziali. Quindi per il teorema di unicità del punto (1) queste sono tutte e sole le soluzioni!
(v) serve ancora un po' di lavoro per dimostrare che le soluzioni che hai appena trovato e quelle proposte da Enigma con seni e coseni sono le stesse -- ma se hai già visto le successioni per ricorrenza ormai è tutto standard.
(vi) a questo punto puoi adattare tutte le generalizzazioni del caso discrete-time, in particolare puoi vedere cosa succede quando il "polinomio caratteristico" ha radici coincidenti.

[dario2994]

Wow... sei stato chiarissimo... ma ora, come potrai immaginare... voglio sapere almeno il nome del teorema di esistenza e unicità
Per il resto... praticamente in 7 righe hai tolto tutto il misticismo che nella mia testa girava intorno alle mitiche "equazioni differenziali" e sono passato dal vedere una differenziale come una sfidona a una banale applicazione di tecnica, è tutto chiarissimo e secondo me bisognerebbe anche ripetere questa spiegazione, e così come l'hai detta è perfetta, anche a qualche medium/advanced del senior! Sono robe tenute inutilmente segrete

p.s. ma il teorema di esistenza e unicità di applica anche alzando il grado vero? (cioè alzando l'ordine delle derivate)

[fph]

Uhm, sul nome del teorema non c'è unanimità. In Italia l'ho spesso sentito chiamare solo "teorema di esistenza e unicità", o "teorema di Cauchy" (come se fosse l'unico... ). Su Wiki inglese è noto come Picard-Lindelöf. Vale anche per ordine (=massima derivata che appare) maggiore, e in dimensione maggiore (sistemi di equazioni differenziali accoppiate).
Nella sua versione più semplice, le ipotesi da verificare sono:
- riesci a esplicitare l'equazione come $y^{(k)}=f(t,y,y',\dots,y^{(k-1)})$ (qui $y^{(i)}$ indica la derivata $i$-esima)
- la $f$ del punto sopra è C^1 (questa si potrebbe alleggerire un pochino ma è diventa complicata da dire).
Sotto queste ipotesi ti dice che c'è una e una sola soluzione in un intorno (a destra e a sinistra) di $0$. La soluzione potrebbe divergere brutalmente da un certo punto in poi, però (esempio: trova un'equazione differenziale con soluzione $y(t)=1/t$).

Nota che la potente teoria che ti ho raccontato più sopra funziona solo per una famiglia particolare di equazioni differenziali (tutto lineare, e coefficienti che non dipendono da $t$) --- la vita non è sempre così facile.

Perché non si spiega ai senior? Perché tradizionalmente l'analisi e le equazioni differenziali non sono "argomento olimpico", e in pratica non si vedono per nulla nei problemi da gara. Sono d'accordo con te che sono una parte interessante della matematica, ma sia le olimpiadi che i licei hanno preso un'altra strada.
Probabilmente le spiegano agli stage delle olimpiadi di fisica --- perlomeno, loro le usano a tutto spiano.

[<enigma>]

Teorema di esistenza e unicità per le soluzioni dei problemi di Cauchy o qualcosa del genere credo, e si applica a equazioni differenziali ordinarie di qualsiasi ordine sotto le opportune condizioni... le equazioni differenziali possono avere delle belle idee dietro, ma come tutte le altre cose possono diventare meccaniche (conosco almeno un ingegnere che ne risolve a manetta senza sapere la definizione di derivata); il discorso si fa più interessante con le equazioni alle derivate parziali. Non le avevi ancora viste nell'ambito olimat perché difficilmente servono per i problemi olimpici

Edit: ops, anticipato

[dario2994]

Nota che la potente teoria che ti ho raccontato più sopra funziona solo per una famiglia particolare di equazioni differenziali (tutto lineare, e coefficienti che non dipendono da $t$) --- la vita non è sempre così facile.

Sìsì... come per le successioni

Perché non si spiega ai senior? Perché tradizionalmente l'analisi e le equazioni differenziali non sono "argomento olimpico", e in pratica non si vedono per nulla nei problemi da gara. Sono d'accordo con te che sono una parte interessante della matematica, ma sia le olimpiadi che i licei hanno preso un'altra strada.

È vero che l'analisi non è argomento olimpico e che le differenziali in pratica non si vedono nei problemi da gara.
Ma è anche vero che ci sono stati advanced di analisi e ed è vero che si trattano spesso negli advanced, ma anche nei medium, argomenti che poi non cascheranno mai in una gara. Invece questa roba sulle differenziali del tipo di cui si parla qui io non l'ho mai sentita in ambiente olimpico. Ed è un peccato perchè è roba "semplice" e interessante.
Non è che penso sia importante dirla o altro, anzi ora che è girata sul forum ha perso ogni importanza Ma è strano che alcuni fatti semplici e suppongo stranoti nella matematica vera siano oscuri in ambiente olimpico... un altro esempio facile che mi viene in mente è la dimostrazione che i ciclotomici sono irriducibili... che era considerata impossibile fino a prima dello stage di piever

[Mist]

Bon, oggi parlavo al mio prof di fisica di equazioni del tipo $f''+\alpha f' +\beta f + \gamma=0$ e beh... Io ho posto $\displaystyle f= g-\frac{\gamma }{\beta }$e così ci si riconduce a
$g''+\alpha g' +\beta g =0$... E a questo punto lui si è messo a dire: "Usiamo un linguaggio operatoriale !" E ha scritto $(D^2+\alpha D + \beta)g =0$.... al che è partito con la tangente raccogliendo e facendo altra roba e mi sono un po' perso... O.o qualcuno sa spiegarmi cosa ha fatto ? E come andare avanti ?

[fph]

Se ho ben capito si è messo a fare dei conti con quella $D$ (operatore di derivata) come se fosse una normale variabile, fattorizzando il polinomio. Qualcosa di questo tipo: per risolvere $f''+f=0$, lo riscrivo come $D^2f+f=0$, cioè $(D^2+1)f=0$, fattorizzo $(D+i)(D-i)f=0$, agito le mani, e dico che per la legge di annullamento del prodotto le soluzioni sono le stesse di $(D+i)f=0$ e quelle di $(D-i)f=0$.
Si possono fare conti di questo tipo in alcuni casi, ma non è banale giustificarli né capire quando funzionano davvero e quando no; serve capire cos'è un operatore differenziale, e cosa ci si può fare algebricamente e cosa no. È un po' come risolvere le equazioni differenziali a variabili separabili "portando di là il dx e integrando". Spesso funziona, ma per capire cos'è davvero quel "dx" ci vuole del sano studio.
Se vuoi sapere come si risolvono in modo umano quelle equazioni differenziali, leggi il mio post sopra; se vuoi una giustificazione completa di quello che ha fatto il tuo prof, non te la so dare al volo (anche perché dalla tua descrizione non so esattamente cosa ha fatto), ma temo che sarebbe molto tecnica. Anch'io quando ho visto fare conti di quel tipo per la prima volta sono rimasto convinto che mi stessero fregando, e sono ancora oggi abbastanza dubbioso. Come dice il saggio, "In general, when you hear a physicist invoke the uncertainty principle, keep a hand on your wallet."

[Mist]

ok, grazie mille XD lasciamo stare e vediamo di fare qualcosa per le olimpiadi

[Simo_the_wolf]

Giusto per rispondere al post iniziale, volevo scrivere come ci arrivai io, in modo "non ortodosso" ma esatto comunque: innanzitutto moltiplichiamo l'equazione iniziale per $2f'$ e otteniamo $2f'' f' = - 2f' f $. Ora, simpaticamente accade che a destra c'è la derivata di $f'^2$ mentre a sinistra la derivata di $-f^2$ (provare per credere). Dunque possiamo dire che
$ f'(t)^2 - f'(0)^2 = -f(t)^2 + f(0)^2$.

Ora il passaggio un po' più osè... Da farsi con cautela... Mi riscrivo tutto come
$ \displaystyle \frac { f'^2 (t) } { c - f(t)^2} =1 $

Mi metto ora in un punto in cui $f'(t) \neq 0$ e, per continuità, dovrà essere ad esempio $f'(t)>0$ in un intornino. Allora posso estrarre la radice quadrata e riconoscere la derivata dell'arcoseno a sinistra (a meno di costante di normalizzazione)

$ \displaystyle \frac { f' (t) } {\sqrt{ c - f(t)^2} } = \frac { d }{dx} \left( \arcsin \left( \frac{ f( x )}{\sqrt{c}} \right) \right) |_{x=t} =1 $

Ora mi basta integrare il tutto e ottengo che localmente la mia funzione è $f(t) = c \cdot \sin ( t + t_0)$. Ora per la continuità fino alle derivate seconde direi che si conclude, considerando le parti in cui $f'=0$ e le parti in cui $f' \neq 0$ (un po' delicato il ragionamento ma dovrebbe funzionare.

Ciao