Distanza nel modello di Klein

[Ido Bovski]

Trattiamo per il momento soltanto con due dimensioni. Siano $P$ e $Q$ due punti interni al disco di Klein e siano $P'$ e $Q'$ i punti di intersezione della retta $PQ$ con il bordo del disco, in modo tale che $P', P, Q, Q'$ siano esattamente in questo ordine. La distanza in questo modello si definisce come $\displaystyle d(P, Q)=\log(P, Q', Q, P')/2$, dove con $(P, Q', Q, P')$ si indica il birapporto tra i quattro punti.
La mia domanda è: da dove spunta fuori proprio quella definizione? (a parte quel logaritmo che presumo serva ad aggiustare soltanto l'additività delle distanze) Che legame c'è tra la geometria iperbolica e quella proiettiva?

[Triarii]

A suo tempo mi fu spiegato così.
La distanza per come è definita si deve conservare per ogni spostamento rigido del piano. Nel modello di Klein gli spostamenti "rigidi" sono definiti come tutte le trasformazioni proiettive che mandano tutti i punti del cerchio chiuso in sè stessi. Infatti se consieriamo il cerchio di Klein come parte del piano euclideo, vogliamo che le trasformazioni che applichiamo su di esso mandino i punti interni al cerchio in altri punti interni, visto che in questo modello i punti esterni al cerchio non vengono considerati. Ecco quindi il legame fra proiettiva e geometria non euclidea (spero di non essermi sbagliato ).Il birapporto è quindi un'invariante rispetto a questa classe di spostamenti.
In linea di massima vuoi anche che la distanza sia additiva, e che quindi dati 3 punti P, Q, R allineati valga d(PR)=d(PQ)+d(QR), e visto che il birapporto in generale non è additivo ma si comporta bene con il prodotto, ecco spiegato l'uso del logaritmo. (anche se io non l'avevo mai visto la distanza come la metà del logaritmo del birapporto, ma magari mi ricordo male io; non che cambi qualcosa ai fini della definizione...)
Spero di non aver detto boiate

[Ido Bovski]

Bene, però la mia domanda era un po' più profonda. Ovvero, da dove salta fuori l'idea di considerare proprio le trasformazioni proiettive come "spostamenti rigidi" del modello che voglio costruire? (a prescindere dal fatto che con questa scelta tutto funziona ed è bello)
Credo comunque di essermi, in parte, riuscito a dare una risposta: ho letto che il disco di Klein può essere considerato come la proiezione stereografica dell'iperboloide sul piano.