Sviluppi in serie di Taylor generalizzati bivariati

[afullo]

Salve a tutti. Qualcuno di voi mi saprebbe gentilmente indicare una o più fonti in cui viene affrontato il problema degli sviluppi in serie di Taylor generalizzati bivariati? Con sviluppi generalizzati intendo che la successione di funzioni rispetto alla quale avviene lo sviluppo è generica (a meno di qualche condizione, per esempio sulla regolarità); per esempio, nel caso 1D, lo sviluppo classico lo possiamo considerare come quello rispetto a 1, x, x^2, x^3, x^4..., mentre quello di Fourier come quello rispetto a 1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x. Qui prendiamo in considerazione sviluppi generici rispetto a u_0(x), u_1(x), u_2(x), u_3(x), u_4(x)...

Ho trovato un articolo di Widder del 1928 in cui viene affrontato abbastanza estensivamente il tema degli sviluppi generalizzati, ma ci si limita all'univariato senza fornire troppi spunti per l'estensione al caso di dimensioni maggiori.

Grazie in anticipo.

[EvaristeG]

Non ho capito. Lo sviluppo di taylor produce una serie di potenze e puoi usarlo solo per approssimare funzioni analitiche (a meno di considerare comportamenti asintotici). Lo sviluppo di Fourier funziona e converge (in vari sensi) per una classe ben più ampia di funzioni.

Insomma, da una parte stai chiudendo in norma di convergenza uniforme sui compatti l'algebra generata dai polinomi. Dall'altra parte stai considerando una base ortonormale completa di uno spazio di Hilbert. Non sono esempi dello stesso fenomeno.

Che proprietà vuoi che abbia questo tuo "sviluppo"?

[afullo]

Lo "sviluppo" dovrebbe approssimare una funzione in due variabili (s,t), definita in un dominio rettangolare, come combinazione lineare di prodotti di funzioni in s e di funzioni in t, con un errore dell'ordine di potenze delle sue dimensioni.

[EvaristeG]

Sì, ma vuoi un'approssimazione tipo norma del sup oppure che al limite quando le dimensioni del rettangolo tendono a $0$ al differenza tra l'approssimante n-esima e la funzione vada a zero come una certa potenza delle dimensioni?
E poi, le approssimazioni successive devono essere compatibili (come per i polinomi di taylor che si ottengono l'uno dall'altro aggiungendo monomi) o no?

[afullo]

L'approssimazione dovrebbe essere preferibilmente uniforme, e quelle successive compatibili, visto che per il mio scopo mi è sufficiente considerare come spazio approssimante quello lineare generato dalle funzioni 1, x, ..., x^{n-2}, u(x), v(x), dove u e v sono non polinomiali e generiche (prendiamole magari C^inf per non avere problemi con una loro derivazione di qualsiasi ordine), ma all'aumentare di n si aggiungono solo monomi, senza che compaiano altre funzioni da determinarsi.

[EvaristeG]

Allora ... se vuoi un'approssimazione del genere, uniforme su un fissato compatto $K$, usando solo potenze di $x$ e di due altre funzioni $u$, $v$, ottieni tutte e sole le funzioni di questo tipo: $\phi(x,u(x), v(x))$ dove $\phi:K\times u(K)\times v(K)\to\mathbb{R}$ è una funzione analitica reale su un intorno di $K\times u(K)\times V(K)$.

Un altro fatto è questo: data un'algebra $A$ di funzioni reali continue sul compatto $K$, che contenga le costanti e che separi i punti (cioè per ogni due punti $x,y\in K$ esiste $f\in A$ tale che $f(x)\neq f(y)$), ogni funzione continua da $K$ in $\mathbb{R}$ è approssimabile uniformemente su $K$ da una successione di elementi di $A$. In particolare, se $A$ è generata da funzioni $u_1,\ldots, u_n$, ogni funzione reale continua su $K$ è approssimabile uniformemente da polinomi in $u_1,\ldots, u_n$, ma nessuno ti garantisce che i polinomi siano ognuno compatibile con il precedente. Anzi, in generale è falso.

Quindi di nuovo, non capisco la tua domanda. Potresti formulare con un minimo di rigore il tipo di risultato che vorresti ottenere?

[afullo]

Sto affrontando il problema con un mio collega, gli mando una mail o comunque gli chiedo domani, e insieme vediamo di formalizzare un po' meglio la descrizione di ciò che stiamo cercando.

[afullo]

Rieccomi. Allora, abbiamo formalizzato un po', cominciamo dal principio:

Data una $ f $ bivariata nelle variabili $ s,t $, sufficientemente regolare, definiamo lo sviluppo non polinomiale $ Q_L(f)(s,t) $ centrato in $ (s_0,t_0) $ come quello sviluppo che:

appartiene a $ \langle 1, s, \ldots, s^{n_1-2}, u_1(s), v_1(s) \rangle \times \langle 1, t, \ldots, t^{n_2-2}, u_2(t), v_2(t) \rangle $;
è tale per cui il suo sviluppo polinomiale (di Taylor, ma di bi-grado coordinato, non di grado totale) coincide con quello di $ f $fino al bi-grado $ (n_1,n_2) $.

Lo sviluppo esiste ed è unico se e solo se non è singolare una determinata matrice triangolare superiore a blocchi, dunque se e solo se non sono singolari i blocchi sulla diagonale. Tale matrice $ A $ si può scrivere come:

$ \begin{bmatrix} I & \star & \star & \star \\ 0 & A_{bc} & \star & \star \\ 0 & 0 & A_{de} & \star \\ 0 & 0 & 0 & IV \end{bmatrix} $

$ I $ è la matrice identità (curiosamente coincide con la numerazione romana che abbiamo utilizzato per denotarle, sostituendo però poi nei casi centrali con una denominazione più esplicita).

$ A_{bc} $ e $ A_{de} $ sono matrici che coinvolgono le derivate di ordini opportuni delle quattro funzioni non polinomiali presenti in questo framework (più precisamente, $ A_{bc} $ tira in ballo $ u_2 $ e $ v_2 $, mentre $ A_{de} $ chiama in causa $ u_1 $ e $ v_1 $), e abbiamo dimostrato con opportuni strumenti la loro non singolarità.

$ IV $ è una matrice definita nel seguente modo:

$ \small \begin{bmatrix} D^{n_1-1} u_1(s_0) D^{n_2-1} u_2(t_0) & D^{n_1-1} u_1(s_0) D^{n_2-1} v_2(t_0) & D^{n_1-1} v_1(s_0) D^{n_2-1} u_2(t_0) & D^{n_1-1} v_1(s_0) D^{n_2-1} v_2(t_0) \\ D^{n_1} u_1(s_0) D^{n_2-1} u_2(t_0) & D^{n_1} u_1(s_0) D^{n_2-1} v_2(t_0) & D^{n_1} v_1(s_0) D^{n_2-1} u_2(t_0) & D^{n_1} v_1(s_0) D^{n_2-1} v_2(t_0) \\ D^{n_1-1} u_1(s_0) D^{n_2} u_2(t_0) & D^{n_1-1} u_1(s_0) D^{n_2} v_2(t_0) & D^{n_1-1} v_1(s_0) D^{n_2} u_2(t_0) & D^{n_1-1} v_1(s_0) D^{n_2} v_2(t_0) \\ D^{n_1} u_1(s_0) D^{n_2} u_2(t_0) & D^{n_1} u_1(s_0) D^{n_2} v_2(t_0) & D^{n_1} v_1(s_0) D^{n_2} u_2(t_0) & D^{n_1} v_1(s_0) D^{n_2} v_2(t_0) \\ \end{bmatrix} $

Se si riuscisse a dimostrare la non singolarità di questa matrice, si sarebbe dimostrata la non singolarità della matrice definita a blocchi nella sua interezza, e quindi l'esistenza e l'unicità dello sviluppo non polinomiale.
Questo ci permetterebbe di proseguire; in caso contrario, ci si potrebbe sempre limitare ad affermare l'equivalenza tra esistenza/unicità e non singolarità, e andare avanti lo stesso, ma si preferirebbe dare una caratterizzazione più precisa del fenomeno.

[EvaristeG]

Premetto che non sto capendo granché (vuoi determinare le $u$ e le $v$? vuoi farlo, fissate $u$ e $v$, per ogni $n_1, n_2$? vuoi determinare quali $f$ vanno bene?).
Comunque, calcolando il determinante della matrice che hai scritto viene che quella è non singolare sse
$$\begin{pmatrix} D^{n_1-1}u_1 & D^{n_1-1}v_1\\D^{n_1}u_1 & D^{n_1}v_1\end{pmatrix}\qquad \begin{pmatrix}D^{n_2-1}u_2 & D^{n_2-1}v_2\\D^{n_2}u_2 & D^{n_2}v_2\end{pmatrix}$$
lo sono.
Ora, se vuoi trovare delle $u$ e delle $v$ che abbiano questa proprietà per ogni $n$, è un conto. Se vuoi verificarla per $u$ e $v$ date è un altro. In generale, questa è una condizione di "indipendenza" tra le funzioni $u_i$ e $v_i$, quindi è genericamente vera, anzi ad occhio direi che una di queste condizioni descrive un aperto denso nelle funzioni $\mathcal{C}^\infty$, dunque l'intersezione di tutte loro dà comunque un insieme non vuoto (ed anzi, denso), per un ragionamento tipo Baire.

[fph]

Quelle matrici mi ricordano molto questa: https://en.wikipedia.org/wiki/Wronskian. L'idea sotto è la stessa immagino, vedere se le funzioni e le loro derivate sono "indipendenti". Premetto (anzi, post-metto) che non ci sto capendo molto neanch'io.

[EvaristeG]

Quelle matrici mi ricordano molto questa: https://en.wikipedia.org/wiki/Wronskian. L'idea sotto è la stessa immagino, vedere se le funzioni e le loro derivate sono "indipendenti". Premetto (anzi, post-metto) che non ci sto capendo molto neanch'io.

Sì, sono wronskiani, ma non sapevo se l'informazione avesse rilevanza XD

[afullo]

Per casi particolari di u e v che mi interessano sono riuscito a provarlo. In generale mi piacerebbe anche solo sapere se e' vera per ogni scelta di regolarita' compatibile o se c'e' un controesempio. Poi, piu' arrivo a sapere e meglio e', il massimo sarebbe una caratterizzazione esplicita, ma andrebbero bene anche risultati intermedi. Intanto grazie per la scomposizione.

[EvaristeG]

Ma non è una cosa che dipende dalla regolarità delle funzioni... ad esempio, poni
$$F_n(u,v)=\det \begin{pmatrix} D^{n_1-1}u & D^{n_1-1}v\\D^{n_1}u & D^{n_1}v\end{pmatrix}$$
Se $u(x)=v(x)+p(x)$ con $p(x)$ un polinomio, allora ad un certo punto $F_n(u,v)=0$. Oppure se $u=v+e^{-1/x^2}$, pure lì $F_n(u,v)(0,0)=0$ per $n\ge2$.
Non penso si possano caratterizzare le coppie $u$, $v$ per cui sti cosi non sono $0$...Forse tra le funzioni analitiche...