Ragazzi finalmente ho cominciato a studiare analisi ma vorrei proporvi questo problema che ho risolto anche se non so se il mio procedimento è correttissimo... Vorrei sentire qualche soluzione vostra per vedere come potrebbe essere risolto! Inoltre mi dispiace se scrivo qualche castroneria
Trovare il numero di caffè che deve bersi in un giorno Gigi per massimizzare il numero di teoremi dimostrati in un giorno sapendo che il numero di teoremi dimostrati in un'ora è s+ln(c) dove c è il numero di caffè bevuti in quel giorno (per preparare un caffè sono necessari 5 minuti) e s sono le ore di sonno in quel giorno.
Io ho ricavato in funzione di s e c il numero di teoremi in un giorno... Poi ho derivato rispetto a se ponendo uguale a 0 ho ottenuto una relazione necessaria tra s e c (o almeno credo)... Poi ho sostituito e nella nuova derivata posta uguale a 0 avevo solo una variabile (in questo caso c).
Poi mi usciva il risultato c=12 (messo anche sul libro) e la soluzione dell'equazione che non ho avuto molta voglia di risolvere (visto che mi sembra insolvibile per me ) c-288=ln(c)...
Ora ho tre domande...
L'ultima equazione messa ho un risultato accettabile per i dati del problema?
Questo procedimento per risolvere massimi e minimi di funzioni con più variabili è corretto?
Se per ipotesi fosse corretto... Si può estendere ad n variabili?
variabili?
$ \mbox{ }\mbox{ } $And God said : $ \displaystyle c^2 \mu_0 \varepsilon_0 =1 $,
and then there was light.
Non ho capito niente.
Intanto, usa il tex. Poi, $s+\log(c)$ è il numero di teoremi in un'ora, dove $s$ sono le ore di sonno del giorno che contiene l'ora e $c$ il numero di caffè bevuti in quel giorno. Cosa c'entra che servono 5 minuti per preparare un caffè? Forse mentre prepara i caffè non dimostra teoremi? Se questa seconda ipotesi è corretta, ha $24-s-c/12$ ore utili, in cui produce
$$(24-s-c/12)(s+\log c)$$
teoremi. Giusto? Non ci sono vincoli su $s$ o relazioni che non ci hai detto tra $c$ ed $s$?
Poi, dall'altra parte, quello che hai fatto, mi sembra, è stato prendere una funzione di due variabili $f(x,y)$, calcolare quella che si chiama derivata parziale (cioè rispetto ad una sola delle due variabili) che si denota con $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ e hai posto
$$\dfrac{\partial f}{\partial x}=0$$
dopo di che per botta di fortuna sei riuscito a risolvere questa equazione nella forma $x=g(y)$, allora hai calcolato $h(y)=f(g(y),y)$ e hai posto $h'(y)=0$.
Ora, in generale questo non funziona, nel senso che non è detto che tu riesca a risolvere per bene la prima equazione (der parziale uguale a 0). Inoltre, tieni conto che non è detto che (derivata=0)==>(massimo), potrebbe essere un minimo o un flesso (e questo in una variabile, in 2 le cose si complicano).
Poi, in più variabili, il modo di trovare i cosiddetti "punti critici" (quelli che in 1 variabile sono quelli con derivata=0), è di risolvere il sistema
$$\left\{\begin{array}{c}\dfrac{\partial f}{\partial x}=0\\\dfrac{\partial f}{\partial y}=0\end{array}\right.$$
mentre quello che fai tu trova, ad occhio, più soluzioni.
Prendi $f(x,y)=x^2+2xy+y$, allora $\frac{\partial f}{\partial x}=2x+2y$, quindi ricavi $x=-y$, ovvero sostituendo, $f(-y,y)=-y^2+y$ la cui derivata è $-2y+1$ che si annulla per $y=1/2$ (e quindi $x=-1/2$). D'altra parte, in realtà, i punti critici di $f$ (tra cui vanno cercati massimi e minimi) sono descritti da
$$2x+2y=0\qquad 2y+1=0$$
ovvero $x=1/2$ e $y=-1/2$, che è l'opposto di quella trovata prima. (btw, questo punto non è né minimo né massimo).
Nel tuo caso, si doveva derivare in $c$ e in $s$ separatamente, ottenendo
$$-(s+\log c) +(24-s-c/12)(\log c)=0\qquad -(s+\log c)/12 + (24-s-c/12)(1/c)=0$$
che però non ha una soluzione agile (certo non c=12). Inoltre dovresti imporre di trovare la soluzione in $0\leq s\leq 24$, $0\leq c$, $s+c/12\leq 24$.
Probabilmente c'è una relazione tra $s$ e $c$ (che è anche naturale vi sia, tipo che più è $c$ e meno è $s$) che non ci hai detto e che permette di eliminare una variabile a monte.
EvaristeG ha scritto:Non ho capito niente.
Intanto, usa il tex. Poi, $s+\log(c)$ è il numero di teoremi in un'ora, dove $s$ sono le ore di sonno del giorno che contiene l'ora e $c$ il numero di caffè bevuti in quel giorno. Cosa c'entra che servono 5 minuti per preparare un caffè? Forse mentre prepara i caffè non dimostra teoremi? Se questa seconda ipotesi è corretta, ha $24-s-c/12$ ore utili, in cui produce
$$(24-s-c/12)(s+\log c)$$
teoremi. Giusto? Non ci sono vincoli su $s$ o relazioni che non ci hai detto tra $c$ ed $s$?
Allora qui è tutto giusto... Le ipotesi del problema sono queste, l'unica cosa che non ho detto è che non puó fare due cose alla volta... Il risultato messo sul libro era 12 quindi non saprei
Bisogna trovare il massimo numero di teoremi che può dimostrare in un giorno...
Comunque mi scuso per il disordine, per il problema mal formulato e anche per la mancanza di tex... Mi viene da scaricare la colpa al cellulare che mi fa impazzire quando sono in internet! In ogni caso grazie per la spiegazione
$ \mbox{ }\mbox{ } $And God said : $ \displaystyle c^2 \mu_0 \varepsilon_0 =1 $,
and then there was light.
Ma su che libro? Cioè, voglio dire, quale dovrebbe essere l'argomento per cui questo è dato come esercizio? (Btw, sei sicuro di quel logaritmo del numero dei caffè?).
L'argomento sono i massimi i minimi e i flessi... L'ho preso da matematica blu 2.0... É un libro di quinta liceo ma credo sia una vecchia edizione perchè me l'ha prestato la mia professoressa che non le serve più.
Comunque sono sicuro al 99% del testo... Stasera se riesco ricopio il testo originale!
$ \mbox{ }\mbox{ } $And God said : $ \displaystyle c^2 \mu_0 \varepsilon_0 =1 $,
and then there was light.
EvaristeG ha scritto:
Nel tuo caso, si doveva derivare in $c$ e in $s$ separatamente, ottenendo
$$-(s+\log c) +(24-s-c/12)(\log c)=0\qquad -(s+\log c)/12 + (24-s-c/12)(1/c)=0$$
che però non ha una soluzione agile (certo non c=12). Inoltre dovresti imporre di trovare la soluzione in $0\leq s\leq 24$, $0\leq c$, $s+c/12\leq 24$.
Oh, uffa, ho scritto un pezzo in più nelle derivate. Quelle giuste sarebbero
$$-(s+\log c) + (24-s-c/12)=0\qquad -(s+\log c)/12 + (24-s-c/12)(1/c)=0$$
(fare i conti direttamente nel messaggio è stato azzardato).
A questo punto dalla prima ottieni
$$24-s-c/12=s+\log c$$
quindi sostituendo nella seconda hai
$$-(s+\log c)/12 + (s+\log c)/c=0$$
ovvero
$$\dfrac{(s+\log c)}{12c}(c-12)=0$$
che si annulla se $c=12$ oppure se $s=-\log c$, ma sostituendo nella prima equazione otteniamo che, se $c=12$, allora
$$s=(23-\log 12)/2$$
se invece poniamo $s=-\log c$, si ha
$$24+\log c- c/12=0$$
da cui
$$\log c- c/12=-24$$
che ha due soluzioni: una molto minore di $1$ e l'altra maggiore di $288$. Poiché in un giorno ci sono $24$ ore, Gigi può bere al più $288$ caffè e deve berne almeno 1, quindi queste soluzioni le escludiamo. Per cui l'unica sol è $c=12$. Ora dovresti vedere che sia davvero un massimo, ma questa è una cosa complicata...
Grazie mille! Con il metodo scrauso che avevo usato all'inizio le soluzioni erano quelle però ora ho il metodo giusto
Dici che verificare che è effettivamente un massimo è troppo complicato?
$ \mbox{ }\mbox{ } $And God said : $ \displaystyle c^2 \mu_0 \varepsilon_0 =1 $,
and then there was light.
E' complicato anche dal punto di vista teorico: coinvolge cose che non sai, tipo matrici hessiane e loro positività (o negatività). Potrei scriverti il conto ma non sapresti il perché io lo faccia e perché questo dica che quello è un massimo.
) c-288=ln(c)...
p