Insieme compatto con |E'|=|N|

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SARLANGA
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Insieme compatto con |E'|=|N|

Messaggio da SARLANGA »

L'esercizio che vi presento è questo:
Costruire un insieme compatto di numeri reali i cui punti di accumulazione formino un insieme numerabile.

Io ho pensato a questo esempio, ma non so se è corretto:

Siano $ E_{2} = \{1/2 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n} t.c. n = 1, 2, 3, \dots \} $ e in generale $ E_{m} = \{1/m + \frac{m-1}{m} \cdot \frac{1}{n} t.c. n = 1, 2, 3, \dots \} $.
Allora $ \bigcup E_{m} $ dovrebbe essere un insieme chiuso, perché contiene tutti i suoi punti di accumulazione, limitato, perché contenuto nell'intervallo $ [0,1] $, e i suoi punti di accumulazione sono un insieme numerabile, in particolare sono $ E' = \{1/n : n=2, 3, 4, \dots\} $.

E' giusto? C'era qualcosa di più semplice?
Grazie.
EvaristeG
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Re: Insieme compatto con |E'|=|N|

Messaggio da EvaristeG »

Vale anche qui quel che ho scritto in risposta al tuo altro thread sulla non compattezza dell'intervallo $(0,1)$.

Comunque, no, di certo non è compatto: $0$ è un punto di accumulazione per l'insieme ma non vi appartiene (puoi notarlo anche dal fatto che l'insieme $E'$ - che sembra essere l'insieme dei punti di accumulazione, anche se non l'hai definito - non è chiuso e quindi non può davvero essere l'insieme dei punti di accumulazione, che invece è sempre chiuso).

Una volta aggiunto lo $0$, non è detto che torni lo stesso, dovresti dimostrare che non ci sono altri punti di accumulazione (che ne so, perché non è possibile scegliere un elemento da ogni $E_m$ e ottenere una successione che tende a qualcosa che non sia della forma $1/k$? ).

Non ci sono esempi molto più semplici nella sostanza, al limite nella formulazione (e quindi nella successiva verifica che le ipotesi sono rispettate).
Ad esempio, prendi l'insieme $A=\{1\}\cup\{1-2^{-k}\ \vert\ k\in\mathbb{N}\}$ e considera l'unione
$$X=A\cup \frac{1}{2}A\cup \frac{1}{4}A\cup\ldots$$
dove $kA$ vuol dire l'insieme $\{ka\ vert\ a\in A\}$ (gli elementi di $A$ moltiplicati per $k$). Ora, per costruzione, due qualsiasi di quegli insiemi hanno un solo elemento in comune, il punto $\{0\}$ e eventualmente un punto della forma $\{2^{-k}\}$. Inoltre, $2^{-n}A$ ha un solo punto di accumulazione, $2^{-n}$, e si ha che, dati $x\in 2^{-n}A$, $y\in 2^{-m}A$, se $x,y\neq 0$, $x<y$ se $n>m$, da cui si può dedurre che una successione che converga a $c$ con $2^{-a}<c\leq 2^{-a+1}$ deve stare definitivamente in $2^{-a+1}A$ e dunque $c=2^{-a+1}$. L'unica altra possibilità è $c=0$. Quindi l'insieme dei punti di accumulazione di $X$ è $E=\{0\}\cup\{2^{-k}\ \vert\ k\in \mathbb{N}\}$; essendo che $E\subseteq X\subseteq [0,1]$, $X$ è chiuso e limitato, dunque compatto.
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SARLANGA
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Re: Insieme compatto con |E'|=|N|

Messaggio da SARLANGA »

EvaristeG ha scritto:Vale anche qui quel che ho scritto in risposta al tuo altro thread sulla non compattezza dell'intervallo $(0,1)$.
Messaggio ricevuto. Ma visto che mi hai risposto volevo chiedere una cosa che non ho capito di quello che mi hai scritto.
EvaristeG ha scritto:l'insieme $E'$ - che sembra essere l'insieme dei punti di accumulazione, anche se non l'hai definito
Sì, intendevo l'insieme dei punti di accumulazione.
EvaristeG ha scritto:Quindi l'insieme dei punti di accumulazione di $X$ è $A$
Qui secondo me c'è un errore perché secondo me l'insieme dei punti di accumulazione di $ X $ non è $ A $, bensì $ X' = \{2^{-k} \vert k=1,2,3,...\} $ dove non posso mettere il termine con $ k=0 $, cioè $ 1 $, perché non è un elemento di $ X $. Dico bene?
Invece per quanto riguarda gli altri punti di accumulazione, siamo sicuri che sono elementi di $ X $ perché $ 2^{-a} \in 2^{-(a-1)}A \ \forall a =1, 2, 3, \dots $, in quanto ti sei assicurato che lo fossero per costruzione:
EvaristeG ha scritto:Ora, per costruzione, due qualsiasi di quegli insiemi hanno un solo elemento in comune, il punto {0}. Inoltre, 2−nA ha un solo punto di accumulazione, 2−n, e si ha che, dati x∈2−nA, y∈2−mA, se x,y≠0, x<y se n>m
Giusto?
Grazie per le risposte.
[quote="edriv"]chiunque prima di sapere non sa, e prima di saper fare non fa...[/quote]
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Re: Insieme compatto con |E'|=|N|

Messaggio da EvaristeG »

All'inizio volevo fare un esempio con $A$ l'insieme delle potenze di $1/2$, ma era più scomodo da scrivere ... il risultato è che mi è rimasto un $A$ che non c'entrava nulla. Ci sono tre correzioni (che ho fatto al post):
- all'insieme $A$ va aggiunto $1$ (che è il suo punto di accumulazione)
- due insiemi si intersecano in $0$ e (eventualmente) in una potenza di $1/2$
- l'insieme dei punti di accumulazione di $X$ è l'insieme delle potenze naturali di $1/2$ ($1$, $1/2$, $1/4$ etc) e 0.
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SARLANGA
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Re: Insieme compatto con |E'|=|N|

Messaggio da SARLANGA »

Vorrei proporvi un altro tentativo di soluzione al problema che mi è stato suggerito, e che mi sembra interessante per gli utenti di questo forum:

Sia $ p \in \mathbb{P} $, avendo indicato con $ \mathbb{P} $ l'insieme dei numeri primi. Sia $ E_{p} = \{ 1/p \} \cup \{ 1/p - 1/p^{n} \}_{n \in \mathbb{N}} $ in cui l'unico punto di accumulazione, peraltro contenuto in $ E_{p} $, è $ 1/p $. Prendiamo adesso l'unione di tali insiemi:
$ E = \bigcup_{p \in \mathbb{P}} E_{p} $.
Possiamo dire con certezza che l'insieme $ E $ è limitato dall'intervallo $ [0,1] $ e che contiene tutti i suoi punti di accumulazione, dunque è chiuso. Allora $ E $ è compatto e l'insieme dei suoi punti di accumulazione è (credo) $ E' = \{ 1/p : p \in \mathbb{P} \} \cup \{0\} $, che è l'insieme numerabile che cercavo.

Ora mi pare che $ \forall p,q \in \mathbb{P}:p<q $ (e sicuramente devo escludere la coppia $ p=2, q=3 $) , se $ x \in E_{p}, x \neq 0 $ e $ y \in E_{q}, y \neq 0 $, allora $ y<x $. Questo fatto (che credo mi garantirebbe il fatto che i punti di accumulazione di $ E $ sono $ E' $, e nessuno di più) sarebbe vero se i numeri primi soddisfassero la seguente proprietà:
se $ r \in \mathbb{P} $ e $ s \in \mathbb{P} $, con $ r<s $ e $ \nexists t \in \mathbb{P}: r<t<s $, allora $ 1/r - 1/r^{2} > 1/s $, cioè $ (r-1) s > r^{2} $.
Può esistere una cosa del genere?
Grazie
EvaristeG
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Re: Insieme compatto con |E'|=|N|

Messaggio da EvaristeG »

Non ho capito cos'è che vuoi sapere se esiste... comunque è praticamente la stessa costruzione che ho fatto io.
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SARLANGA
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Re: Insieme compatto con |E'|=|N|

Messaggio da SARLANGA »

EvaristeG ha scritto:Non ho capito cos'è che vuoi sapere se esiste...
Non so se esiste quella proprietà dei numeri primi che richiedo. Infatti credo che sia necessaria per poter dire che i punti di accumulazione siano quelli e nessuno altro, stando a quello che mi avevi scritto precedentemente:
EvaristeG ha scritto:Una volta aggiunto lo 0, non è detto che torni lo stesso, dovresti dimostrare che non ci sono altri punti di accumulazione (che ne so, perché non è possibile scegliere un elemento da ogni Em e ottenere una successione che tende a qualcosa che non sia della forma 1/k? ).
EvaristeG
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Re: Insieme compatto con |E'|=|N|

Messaggio da EvaristeG »

$1/r - 1/s=(s-r)/rs$ quindi $1/r-1/s>1/r^2$ sse $(s-r)/s>1/r$. Detto $d=s-r$ hai $d>d+r/r$ ovvero $d>(d/r)+1$. Se $r>2$, $d/r\leq d/3$, e se $d\geq 2$, $d/3+1<d$.
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