(Quasi elementare) Quanto sbaglio, se mi fermo?

[EvaristeG]

Non credo di aver capito bene il suggerimento.
Se $ a_n $ fosse circa la metà di $ e^n $ avremmo già trovato una approssimazione sufficiente di $ e^n $ :
$ a_n= 2\sum_{i=0}^{n}\frac{n^i}{i!} $
(?)

Beh, questo non vieta che sia vero, no? A prescindere dal fatto che sia vero o meno, una volta che tu dimostri che $e^n-\alpha_n$ cresce più o meno (dove si deve dare un significato preciso a questo più o meno) come una certa funzione $f(n)$ (magari scrivibile in termini di polinomi e esponenziali), allora automaticamente $\alpha_n+f(n)$ è una buona approssimazione per $e^n$...

Il problema non è trovare una buona approssimazione, il problema è "se mi fermo a $n+1$ termini, ho trovato una buona approssimazione? se non è così, di quanto sbaglio?"

[maurizio43]

D'accordissimo che è importante conoscere una valutazione del grado di approssimazione,
dal quale posso decidere se sono già nei limiti richiesti dai miei scopi oppure no,
ma se mi dicono che $ 2a_n $ è circa = $ e_n $ comincio ad essere contento
di avere ottenuto una buona approssimazione
E comunque come approssimazione di $ e_n $ citerei $ 2a_n $ e non $ a_n $.

[EvaristeG]

e quindi?

[maurizio43]

Vabbeh, finiamola qui. E' evidente che non siamo in sintonia :
Ero rimasto (relativamente) colpito dal fatto che si ottenesse una buona approssimaione con quel raddoppio.
E volevo assicurarmi di non aver equivocato sulla interpretazione del simbolo "$ \sim $" come il consueto "circa="
(Da vecchia cariatide, tra le maggiori dificoltà che incontro nel leggere i vari testi sul Forum sono l'interpretazione della simbologia e la nomenclatura usata).
Non voglio farti sprecare altro tempo e mi scuso per quello che già ti ho fatto perdere

[ndp15]

E volevo assicurarmi di non aver equivocato sulla interpretazione del simbolo "$ \sim $" come il consueto "circa="

Più precisamente vuol dire: $ \displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{\alpha_n}{\frac{1}{2}e^n}=1 $

[maurizio43]

Ti sono grato per la precisazione, che mi consente di colmare la mia ignoranza
e di mettere a fuoco meglio il testo della formula precedente.

[adrianomeis]

Un hint su come dimostrare la stima suggerita da <enigma>?

[Simo_the_wolf]

Fiaso n e chiamo $ a_k=n^k/k! $. Se non ricordo male il massimo di $ a_k $ si ha proprio per k=n. Da qui si può provare a mostrare che $ a_{n+k} \sim a_{n-k} $ (pensandola come una funzione a valori discreti); però questa è vera solo per k piccoli... quanto piccoli?

[EvaristeG]

Fiaso n e chiamo $ a_k=n^k/k! $. Se non ricordo male il massimo di $ a_k $ si ha proprio per k=n.

Non ricordi male.

[<enigma>]

Riesumo per scrivere un risultato che ho trovato: nella sua prima lettera a Hardy, Ramanujan scrive che
\[\frac 1 2 e^n= 1+\frac{n}{1!}+\frac{n^2}{2!}+\dots+\frac{n^{n-1}}{(n-1)!} +\frac{n^n}{n!} \theta , \]
dove $\displaystyle \theta=\frac 1 3+\frac{4}{135(n+k)}$ e $k$ è compreso tra $8/45$ e $2/21$.