OliForum Matematico

Propongi due problemi... il primo più facile, il secondo un po' meno....

1) dimostrare che una funzione f che è infinitamente derivabile in ogni punto e tale che tutte le derivate siano positive (strettamente). Dimostrare che f è una serie di potenze (cioè è analitica) di raggio infinito

2) data f infinitamente derivabile, tale che in ogni punto le derivate sono zero da un certo punto in poi (dipendente da punto a punto). È vero che f è un polinomio?

Circa il primo quesito a me viene in mente $ y= e^x $ .
Il secondo quesito non l'ho capito : senza chiarimenti sembra uno scioglilingua sulla parola 'punto' .

Se interpreto bene, (1) è scritto male ma chiede una dimostrazione: data una $f$ (definita su un certo intervallo aperto) derivabile infinite volte e con $f^{(k)}>0$ su tutto l'intervallo, dimostrare che $f$ è uguale a una serie di potenze.
(2) invece lo puoi riscrivere così: sia data $f\in\mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R})$, tale che $\forall x \, \exists k \text{ tale che }\left( f^{(h)}(x)=0 \text{ per ogni }h\geq k\right)$. È vero che $f$ è un polinomio? Occhio all'ordine delle scelte; $k$ può dipendere da $x$ (se no sarebbe banalmente vero).

Forse ci sono delle improprietà nelle mie considerazioni, però se parliamo di un polinomio $ p(x) $ di grado n finito,
c'è la risposta banale che ogni sua successiva derivata è un polinomio di grado via via inferiore, fino ad arrivare al grado $ 0 $ ,
e da lì in poi la derivata $ (n+1)-esima $ e tutte le successive sono tutte nulle.
Non mi pare che tutte le derivate siano positive per ogni $ x $ , e comunque il limite $ k $ per l'annullamento non dipende da $ x $ .

Viceversa per un polinomio "di grado infinito" come lo sviluppo in serie della funzione $ e^x $, le varie derivate lasciano inalterato il grado del polinomio
e addirittura nella fattispecie della funzione $ e^x $ sono equivalenti alla funzione di partenza.
Ma in questo caso non esiste un ordine $ k $ delle derivate per il quale risulti valore nullo per ogni $ x $

Mi suggerite altri casi per i polinomi, che per ora mi sfuggono ?

Che c'entra tutto questo con il problema Maurizio? Non ho capito.

C' entra che, se qualcuno non mi illumina diversamente,
dovrei concludere i discorsi precedenti con la risposta al quesito 2 : no, $ f(x) $ non è un polinomio.
Ciao.

No, non lo puoi concludere.
Simone ha chiesto: è vero che una certa condizione A implica che $f(x)$ è un polinomio?
Tu hai risposto:
- se $f$ è un polinomio, allora A vale (ok, vero, ma non c'entra: è l'implicazione al contrario...)
- ci sono funzioni che non sono polinomi, per cui A non vale (che è vero e ancora non c'entra.

Quindi nulla nel post precedente riguarda l'implicazione richiesta dal problema. E tanto meno ti autorizza logicamente a concludere che la risposta sia sì piuttosto che no.

Scusa, ma circa il punto 2 io ho scritto che la condizione A [che mi sembra richieda che la funzione $ f(x) $ possa avere una funzione derivata di ordine $ k $ abbastanza grande da assumere valori nulli , ma non con lo stesso k per tutti gli $ x $ ("dipendente da punto a punto") ]
non può essere soddisfatta da un polinomio di grado finito, per il quale una funzione derivata di ordine abbastanza alto è nulla per ogni $ x $ .
Cioè (sia pure con prosa 'aggrovigliata' )ho scritto che se $ f $ è un polinomio di grado finito la A non vale , e non ho scritto il viceversa.
Poi ho aggiunto che in un caso di polinomio di grado infinito (lo sviluppo in serie di $ e^x $ ) la condizione non si applica perchè le varie derivate
sono sempre positive.
E ho chiesto lumi per suggerirmi altri casi di polinomi ("di grado infinito") che invece soddisfacessero la A .

.... Per la serie < ignorante sì ( e tanto), ma non del tutto privo di logica > ........

Il punto 2 del problema in pratica *è* trovare (se esiste) una funzione non polinomiale che soddisfa la condizione A. È quello che sta chiedendo Simo.

(e, piccolo consiglio, evita di usare il termine "polinomio di grado infinito"; usa "serie di potenze" al suo posto. Avere grado finito è parte della definizione di polinomio, quindi non esistono polinomi di grado infinito)

maurizio43 ha scritto:Scusa, ma circa il punto 2 io ho scritto che la condizione A [che mi sembra richieda che la funzione $ f(x) $ possa avere una funzione derivata di ordine $ k $ abbastanza grande da assumere valori nulli , ma non con lo stesso k per tutti gli $ x $ ("dipendente da punto a punto") ]
non può essere soddisfatta da un polinomio di grado finito, per il quale una funzione derivata di ordine abbastanza alto è nulla per ogni $ x $ .
Cioè (sia pure con prosa 'aggrovigliata' )ho scritto che se $ f $ è un polinomio di grado finito la A non vale , e non ho scritto il viceversa.

Ah, allora scusa, rettifico il messaggio precedente: hai scritto qualcosa che c'entra col testo ma che è sbagliato.
"Dipendente da punto a punto" vuol dire che PUO' variare da punto a punto, non che DEVE farlo. La condizione A che ha dato Simo è valida per ogni polinomio: se $p(x)$ è un polinomio, per ogni $x\in\mathbb{R}$ esiste un numero naturale $k_0$ tale che per ogni $k>k_0$ naturale si ha che $p^{(k)}(x)=0$ (basta prendere $k_0=\deg p(x)$). La domanda di Simo è se esistano funzioni così che non sono polinomi.
La precisazione "dipendente da punto a punto" serve a non fraintendere il testo credendo che il $k_0$ DEBBA essere lo stesso per ogni punto. Se si chiede questa seconda cosa, la funzione in questione è obbligata ad essere polinomiale. Il $k_0$ PUO' variare da punto a punto, non è detto che lo faccia, ma può farlo.

Poi ho aggiunto che in un caso di polinomio di grado infinito (lo sviluppo in serie di $ e^x $ ) la condizione non si applica perchè le varie derivate
sono sempre positive.
E ho chiesto lumi per suggerirmi altri casi di polinomi ("di grado infinito") che invece soddisfacessero la A .

.... Per la serie < ignorante sì ( e tanto), ma non del tutto privo di logica > ........

Trovare delle funzioni che non siano polinomi (l'uso improprio e francamente orribile dell'espressione "polinomi di grado infinito" ti è già stato corretto da fph) e che soddisfino la A è proprio il problema che ha posto Simo. Chiedere lumi su questo vuol dire chiedere a qualcuno di risolvere il problema.

Dobbiamo proprio darci un taglio.
Chiedo scusa, ma al cospetto dell’ espressione “polinomio di grado infinito” (peraltro imprecisa, inelegante e grossolana) confesso di non riuscire a provare un senso di scandalo o di nausea, perché tutto sommato si capisce agevolmente e senza equivoci che si allude al concetto di ‘serie’.
Personalmente so di avere fatto sul problema riflessioni pressoché scontate e inutili, ma non fuori tema, e non mi risultava di avere fatto conclusioni errate , perché non credevo di avere indicato conclusione alcuna : semplicemente mi incuriosiva quale potesse essere la funzione che percepivo confusamente con derivata k-esima orizzontale solo a tratti, ma senza discontinuità o cuspidi o robe del genere, e quindi terminavo proprio chiedendo “lumi” sulla soluzione, non indicandola.
Sì, d’accordo, avrei dovuto domandare usando la parola ‘funzione’ e non “polinomio ”, ma il succo era il punto interrogativo di domanda, non la individuazione dei polinomi come soluzione.
Comunque non posso passare la vita, e far perder tempo al prossimo, scrivendo a più riprese “ ma io volevo dire … “ , “ ma io credevo … “ , e non posso nemmeno
stressarmi passando ore a rifinire con minuzia ossessiva il linguaggio approssimativo dei miei post.
E’ troppo rilevante il gap generazionale e culturale, per riuscire a comunicare ed entrare in sintonia con voi.
Ammiro la competenza, la sapienza e la lucidità di EvaristeG, ma una mia paranoia senile mi fa sgradevolmente percepire una impronta di fastidio , se non di ostilità, nei confronti dei miei post (evidentemente inopportuni).
Di fronte a un discorso impreciso si può cercare di sforzarsi di interpretare quello che l’ interlocutore voleva intendere (“Forse volevi dire …”), oppure si può sistematicamente interpretare (senza dubbi di sorta) ogni parte ambigua (o inesatta) nella accezione più negativa .
Eppure, in altri casi, qualche (simpatico) esempio di post ‘naif’ e improprio mi è capitato di leggerlo .
Devo allora chiudere il discorso, scusarmi con voi per il tempo che vi ho fatto perdere (e anche per questa mia patetica missiva), e cercare di non entrare più, scodinzolando e latrando festosamente, in codesta vostra chiesa :
C’è un doveroso limite da osservare sul livello di overdose di disturbo che posso recare a lettori di cui fatico ad assumere il gergo .
Peccato, perché era proprio un modo piacevole che avevo scoperto per ingannare efficacemente e piacevolmente il mio tempo.
Salute a tutti .

Cerco di risponderti io prima che finisca a pesci in faccia...
A me sembra proprio che tu sopra abbia fatto un errore, nel tuo terzo post, quando cercavi di affermare "dovrei concludere i discorsi precedenti con la risposta al quesito 2 : no, f(x) non è un polinomio."; se non lo era, almeno ne hai dato l'impressione al lettore. Io e EvaristeG abbiamo cercato di farti capire cosa non andava; forse lui è stato un po' brusco, ma è il suo modo di fare e non c'è niente di personale.
In matematica si passa un sacco di tempo a sbagliarsi e a cercare di capire i propri errori; se avessi un centesimo per ogni volta che ho sbagliato un segno, ora Moratti venderebbe l'Inter a me invece che agli indonesiani. Se continui a girare su questo forum imparerai presto che quando un matematico dice "hai sbagliato" non intende dire "sei un idiota"; è semplicemente un discorso "di lavoro", e ce lo si dice continuamente l'un l'altro, a ragione o a torto (ma sempre argomentandolo), senza infiocchettarlo troppo.
Anzi, il tuo ragionamento non mi sembra particolarmente atroce, ma è quello che mi aspetto da una persona che ha una buona formazione sull'analisi, ma non una da matematico attento ai controesempi e al problem solving; è un tentativo naturale quello di rigirare le cose come hai fatto tu e usare quella terminologia. Provare cosa succede con i polinomi, poi, è un modo sensatissimo di iniziare ad approcciare problema e mi aspetto che chiunque abbia risolto il problema l'abbia fatto prima o poi nella sua linea di pensieri.
Contemporaneamente, non ci ha dato nessun fastidio e nessuna ostilità il tuo tentativo di soluzione; questo forum è qui proprio per proporre problemi e discutere di soluzioni, e (per quanto mi riguarda) non c'è nessun gap generazionale che ci impedisce di comunicare. Se vuoi continuare a discutere di problemi sei il benvenuto, e non ci farai assolutamente perdere tempo; qualche volta ti diremo "hai sbagliato" e qualche volta lo dirai tu a noi, ma è nella natura delle cose.

Per Fph.
Con le tue parole gentili e concilianti disarmi gli spigoli di un vecchietto permaloso, però, così facendo … ti sei aggiudicato il tedio di doverti sorbire qualche mia patetica esternazione… (dovrei postare tutto questo nella sezione “lettino per psicoanalisi” , ma non l’avete).

In realtà il problema di fondo è tutto mio : è il complesso di chi si sente un pesce fuor d’acqua nel contesto di tanti bravissimi giovani intelligenti, studiosi e vivaci,
la cui presenza nel Forum rallegra chi la scopre e infonde una nota di ottimismo nel futuro.
Sentimenti che hanno risvegliato (dopo 50 anni di oblio e di immersione nel mondo del lavoro) un antico interesse per la matematica, che era vissuto solo sui 5 testi di ‘elementi di matematica e geometria’ degli anni ’50 (del liceo) e sui 4 testi di Analisi matematica e geometria analitica degli anni del primo biennio universitario.

E’ facile che un pesce fuor d’acqua dotato di autocritica tema di recare disturbo e tema anche di essere frainteso nel suo “ardire” di partecipare al Forum,
che in realtà è dovuto non a sciocca presunzione, ma a voglia di condividere qualcosa in un ambiente che lui apprezza (oltre che al desiderio di misurare il livello
dei propri residui limiti, bassi e vieppiù calanti ).

In questa specie di outing, confesso che nel 50 % degli argomenti trattati sul Forum non capisco di cosa si stia parlando, nel 30% capisco l’ argomento, ma fatico a capire la soluzione, e oltre tutto ho molto spesso il problema di decifrare qualche simbolo, che a tutta prima mi risulta del tutto sconosciuto.
Ma è sufficiente che nel rimanente 20 % dei casi io trovi argomenti alla portata delle mie cognizioni elementari, per provare un certo entusiasmo verso la partecipazione, nonostante i rischi di gaffe che si possono correre con una preparazione antica e scarsa.
Figurarsi se non sono ben convinto che sia normale criticare gli errori di chi sbaglia ( vuoi per difetti di logica, vuoi per ignoranza o per superficialità) .
Io stesso nei miei post mi sono tranquillamente dato dello sprovveduto più volte (anche se, per vanità, tendo più a sottolineare la mia ignoranza che non la mia stupidità), ma qualche volta (forse a sproposito) mi è spiaciuto ricevere un eccesso di critica, se basato su obiezioni che condividevo solo in parte.

In ogni caso mi dà sollievo sentire che i miei interventi non provocano soverchio malumore.

E ti ringrazio sinceramente per esserti preso la briga di farmelo sapere.

P.S.: ( Tanto per non lasciare estinguere il sacro fuoco del “vizio del tormentone”) Mi aiuti a capire dove è che sbaglio nella sequenza logica che segue ? )
(1)
- Il testo di un problema pone una prima condizione B per una funzione f(x) [: derivabilità infinita]
- poi pone una seconda condizione A [: per k abbastanza grande la derivata k-esima di f(x) è nulla, ma, da punto a punto (cioè al variare di x l' opportuno k può essere diverso ]
- poi chiede “ può la funzione f(x) cercata essere un polinomio ?”
(2) Io considero i polinomi che conosco e sottolineo che derivando ripetutamente si arriva a un certo ordine di derivazione k per il quale la derivata è nulla,
ma ciò per tutti gli x a parità di k .
(3) Chiedo se esistono funzioni polinomiali che non conosco che soddisfino la condizione A .
(4) A domanda rispondo che se non esistessero polinomi soddisfacenti la condizione A la risposta al quesito sarebbe ‘no’.
(Non è pressochè tautologico ?).

Con pacatezza, ( e con l’ imbarazzo per essere insistente oltre ogni limite di decenza) :

1-Non ci piove sul fatto che le derivate di ordine superiore al grado del polinomio sono nulle, e non stiamo più a ripeterlo.
2-Ho imparato “qualche tempo fa” la differenza fra <può> e <deve> e non stiamo più a parlarne .
3-Dal momento che il soprastante punto 1 è scontato, la frase
< in ogni punto le derivate[ di $ f $ ] sono zero da un certo punto in poi (dipendente da punto a punto). È vero che $ f $ f è un polinomio? >
io la interpreto come :
< per ogni $ x $ le derivate [di $ f $ ] di ordine abbastanza alto sono nulle , con l’ordine minimo per l’annullamento della derivata che può variare al variare di $ x $ . La soluzione per $ f $ è che sia un polinomio ? >
4-Se abbandoniamo l’ipotesi < può variare al variare di $ x $ > e imponiamo <per ogni $ x $ > La risposta è sì.
5-Se imponiamo senza cavilli l’ ipotesi <può variare al variare di $ x $> (cioè in qualche caso varia, sennò stiamo inutilmente riconsiderando il caso precedente ),
la risposta è no .
Comunque mi sembra che stiamo discutendo su questioni di lana caprina.
Più interessanti , per me, sarebbero lumi per sapere se c’è ( e come è fatta) una $ f $ non polinomiale che soddisfi il problema.