politopi, aree, vettori

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ma_go
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politopi, aree, vettori

Messaggio da ma_go » 31 gen 2014, 14:58

credo che sia un risultato-folklore, ma secondo me è carino e vale la pena di giocarci un po'.

definizioni. un politopo in $\mathbb{R}^n$ è un'intersezione di iperspazi con parte interna non vuota. ad ogni faccia di codimensione 1 del politopo associamo un vettore-faccia $F\in \mathbb{R}^n$ che ha le seguenti proprietà:
* $F$ è ortogonale (rispetto alla metrica standard) alla faccia;
* $F$ punta fuori dal politopo (nel senso che per ogni $p$ nella faccia e per ogni $\varepsilon > 0$ si ha che $p+\varepsilon F$ non appartiene al politopo);
* $F$ ha lunghezza pari al volume $n-1$-dimensionale della faccia.

divertitevi a dimostrare questo allegro fatterello (e magari a trovare più dimostrazioni, che può essere istruttivo -- anche per me!).

teorema. siano $F_1,\dots,F_N$ i vettori-faccia di un politopo in $\mathbb{R}^n$. dimostrare che $$F_1+\dots+F_N = 0.$$

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<enigma>
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Re: politopi, aree, vettori

Messaggio da <enigma> » 31 gen 2014, 16:16

Interpretazione fisica del fatto intuitivamente "ovvio" per $n=3$: la risultante delle forze di pressione su un corpo in un fluido uniforme è nulla.
"Quello lì pubblica come un riccio!" (G.)
"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)

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julio14
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Re: politopi, aree, vettori

Messaggio da julio14 » 11 mar 2014, 21:54

Scegliamo una direzione qualunque $v$, mostriamo che il vettore $F_1+\dots+F_N$ proiettato su $v$ è $0$. Consideriamo l'iperpiano $P$ ortogonale alla direzione scelta, il modulo di $F_i$ proiettato su $v$ è uguale all'area della proiezione dell'$i$-esima faccia su $P$. È però chiaro che la somma con segno delle proiezioni delle facce su $P$ è nulla, perché è uguale alla somma di due copie con segni opposti della proiezione del politopo su $P$.

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