Provo a risponderti almeno al secondo punto.
Intanto (se vuoi per definizione di integrale) la misura di un sottoinsieme $S$ (misurabile) di uno spazio $X$ è l'integrale della funzione caratteristica di quel sottoinsieme: $$ m(S) = \int_X \chi(S) dm.$$
Il passaggio chiave è quello che tu chiami "tagliare a fette l'insieme" lungo $x_1$. Il teorema che ti permette di fare questo passaggio è il teorema di Fubini applicato allo spazio $\mathbb R^n$ visto come $\mathbb R \times \mathbb R ^ {n-1}$ e alla funzione caratteristica di quell'insieme (vedi anche
http://en.wikipedia.org/wiki/Fubini%27s_theorem). Le ipotesi del teorema sono veramente minime, ossia, ti basta che la funzione da integrare sia integrabile sullo spazio prodotto, ma la caratteristica è positiva, limitata ed è di uno spazio limitato, quindi sono ampiamente rispettate. Quindi il tuo procedimento ha sicuramente senso (e se vuoi giustificarlo citi questo teorema).
Passando invece al conto effettivo, sbagli a dire che, lungo la sezione corrispondente ad $x_1$, l'insieme di cui vuoi la misura sia $\lambda^{n-1}(\mathcal A_{1-x_1}^{n_1})$, perché in realtà l'insieme è $\mathcal B = \{x\in \mathbb R ^ {n-1}: x_1<x_2<\dots <x_n, x_2+\dots+x_n <1-x_1\}$. Se vuoi proseguire il conto ti serve quindi una traslazione di $x$ di $x_1$ lungo quell'asse, quindi il vero insieme ha la stessa misura di (usando la tua notazione con le $\mathcal A$): $\mathcal A_{1-nx_1}^{n-1}$.