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Ciao a tutti, vi volevo gentilmente sottoporre un problema che coinvolge approssimazione e trasformazione.
Vogliamo scrivere una funzione in $\theta$ come serie di potenze di un'altra funzione in $\theta$:
$$ \widehat{g}(\theta) = \sum_{k \geq 0} c_k \left( \widehat{f}(\theta) \right)^k $$
Poiché siamo interessati ad un'applicazione computazionale, la nostra somma dovrà essere finita, e dovremo introdurre un errore dipendente dalla potenza di troncamento $N$:
$$ \widehat{g}(\theta) = \sum_{k=0}^N c_k \left( \widehat{f}(\theta) \right)^k + \widehat{e}_N(\theta) $$
Ora, per determinare i coefficienti $c_k$, possiamo richiedere che siano nulli i coefficienti dello sviluppo di Mac Laurin in $\theta$ fino al grado $N$ della differenza:
$$ \widehat{g}(\theta) - \sum_{k=0}^N c_k \left( \widehat{f}(\theta) \right)^k $$
A questo punto trasformiamo secondo Fourier (o antitrasformiamo, cambierebbe solo il segno dell'argomento), arrivando ad ottenere:
$$ g(x) = \sum_{k=0}^N c_k h_k(x) + e_N(x) $$
dove le funzioni $h_k(x)$ sono facilmente calcolabili, a differenza della funzione $g(x)$ che anche è nota ma è di difficile computazione per quanto riguarda i suoi valori puntuali.
Mi chiedo se sia possibile limitare in funzione di $N$ l'errore $e_N(x)$; a tale proposito, possono essere utili alcune informazioni supplementari:

• Richiedendo che siano nulli i coefficienti dello sviluppo di Mac Laurin, supponiamo che il sistema risultante sia non singolare.
• Sia le funzioni $g(x)$ che le funzioni $h_k(x)$ sono a supporto compatto e noto, con estremo sinistro 0. L'estremo destro di $supp[h_k(x)]$ può essere maggiore di quello di $supp[g(x)]$, ma a noi interessa soltanto il comportamento in $supp[g(x)]$, sapendo che $g(x)$ vale zero altrove.
• In realtà i coefficienti $c_k$ dipendono anche da $N$: ho tentato con un'opportuna scelta di $\widehat{f}$, $\widehat{g}$ e $N$, ed è risultato che valori differenti di quest'ultimo parametro davano origine a successioni di coefficienti diverse. Questo sembrerebbe non rendere possibile di coinvolgere nell'errore soltanto $h_{N+1}(x), h_{N+2}(x), \ldots$, in quanto aumentando $N$ di uno in generale variano anche i coefficienti di $h_0(x), h_1(x), \ldots $.

Ci potrebbe essere qualche idea? Concludo riportando che l'esempio tentato, affrontato numericamente, sembra mettere in luce un errore (nelle norme $1$, $2$, $\inf$) che tende a zero come $1/N$.
Grazie in anticipo.

Giusto per sapere, $f$ e $g$ nel caso che ti serve hanno qualche proprietà in più o sono del tutto generiche (a parte l'essere analitiche)? Perché immagino tu abbia già provato la strada dell'esprimere il resto di MacLaurin nelle varie forme e trasformare quello.