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Sia $\Psi(x,y):=\# \{ n \leq x : \text{gpf}(n) \leq y \}$, ovvero la funzione di conteggio degli interi fino a $x$ con tutti i fattori primi minori di $y$. Siano poi $u:=\log x/\log y$, e $\varrho(u)$ la funzione di Dickman-de Bruijn definita dall'equazione differenziale alle differenze $\varrho(u)=1$ ($0 \leq u \leq 1$), $u \varrho '(u)+\varrho(u-1)=0$ ($u>1$) .
1) Dimostrare che vale \[ \Psi(x,y) \sim x \varrho (u)\] per $y>x^\varepsilon$, comunque fissato $\varepsilon>0$.
(Suggerimento: usare l'identità di Buchstab.)
2) Dimostrare che in effetti \[ \Psi(x,y) = x \varrho (u)+O(x/\log y)\]
uniformemente per $x >y>2$.
(Suggerimento: considerare le quantità $\Delta(x,y):=(\Psi(x,y)-x\varrho(u))(\log y)/x$, $\Delta_k(y):=1+\sup\{ |\Delta(X,Y)|:y \leq Y \leq X \leq Y^k \}$, e dare una limitazione uniforme a $\Delta_k$ nella regione $k \leq 2 \log \log y$.)

Mi sembra che molti dei concetti che usi siano abbastanza al di fuori del linguaggio tipico degli utenti del forum. Puoi per favore dare un po' più di definizioni? Per esempio $\#\{\}$, $\operatorname{gpf}$, funzione di Dickman-De Bruijn, $~$, identità di Buchstab.

$\#\{x:P(x)\}$ è sinonimo di $\left | \{x:P(x)\}\right |$, $\operatorname{gpf}(n)$ è il più grande fattore primo di $n$, la funzione di Dickman-de Bruijn l'ho definita lì, $\sim$ è la solita notazione per l'equivalenza asintotica. L'hint dell'identità di Buchstab voleva essere un incentivo ad approfondire autonomamente ma mi rendo conto adesso che stranamente su Internet non c'è assolutamente nulla... quindi la scrivo qui: $ \Psi(x,y)=\Psi(x,z)-\sum_{y<p\leq z} \Psi(x/p,p)$.