Sviluppi in serie di Taylor di funzioni composte
Inviato: 21 ott 2016, 18:47
Ciao ragazzi, ho da poco cominciato a studiare gli sviluppi di Taylor e oggi mi sono incastrato tutto il pomeriggio su questo problema apparentemente semplice.
Voglio trovare lo sviluppo in serie al secondo ordine di $$ f(x)=\frac{1}{1+x^2} $$ Nel punto $x_0=1$
Ora, calcolando le derivate e applicando meccanicamente la formula si ottiene (confermato da Wolframlalpha)
$$ f(x)=\frac 1 2 -\frac 1 2 (x-1) +\frac 1 4 (x-1)^2+o((x-1)^2) $$
Quando ho visto questo esercizio io però ho pensato di sfruttare lo sviluppo delle funzioni composte vedendo $\frac{1}{1+x^2}=h(g(x))$ con $h(x)=\frac{1}{1+x}$ e $g(x)=x^2$. Per far ciò dovrei sviluppare $g(x)$ in $x_0=1$ e $f(y)$ in $y_0=g(x_0)$. Però $g(x)$ è già "sviluppata" e non mi resta altro da fare che sviluppare $f(x)$:
$$ \frac{1}{1+y}=\frac 1 2-\frac 1 4 (y-1) + o(y-1) $$
Già fermandosi a questo punto si vede che sostituendo $y=x^2$ si ottiene una cosa diversa dalla soluzione (volendo si verifica che $o(x^2-2x+1)=o(x^2-1)$) e non riesco a spiegarmi il perchè
Voglio trovare lo sviluppo in serie al secondo ordine di $$ f(x)=\frac{1}{1+x^2} $$ Nel punto $x_0=1$
Ora, calcolando le derivate e applicando meccanicamente la formula si ottiene (confermato da Wolframlalpha)
$$ f(x)=\frac 1 2 -\frac 1 2 (x-1) +\frac 1 4 (x-1)^2+o((x-1)^2) $$
Quando ho visto questo esercizio io però ho pensato di sfruttare lo sviluppo delle funzioni composte vedendo $\frac{1}{1+x^2}=h(g(x))$ con $h(x)=\frac{1}{1+x}$ e $g(x)=x^2$. Per far ciò dovrei sviluppare $g(x)$ in $x_0=1$ e $f(y)$ in $y_0=g(x_0)$. Però $g(x)$ è già "sviluppata" e non mi resta altro da fare che sviluppare $f(x)$:
$$ \frac{1}{1+y}=\frac 1 2-\frac 1 4 (y-1) + o(y-1) $$
Già fermandosi a questo punto si vede che sostituendo $y=x^2$ si ottiene una cosa diversa dalla soluzione (volendo si verifica che $o(x^2-2x+1)=o(x^2-1)$) e non riesco a spiegarmi il perchè