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Salve a tutti, due sere fa stavo guardando il famoso torneo del MIT di risoluzione di integrali, ovvero l'integration bee. Ho deciso così durante la visione di risolvere un integrale proposto, ovvero:
[math] \displaystyle \begin{equation} \int \frac{1-\sin x}{1+\sin x} \ \mathrm{d}x \end{equation}.
Ci sono diverse strade per risolverlo e la prima cosa che ho deciso di fare è stata quella di cambiare di segno il numeratore con un segno meno fuori dall'integrale e sommare e sottrarre due al denominatore, così da ottenere:
[math]\displaystyle - \int \frac{\sin x -1 +2 -2}{\sin x +1} \ \mathrm{d}x = - \int \frac{\sin x +1 }{\sin x +1} - \frac{2}{\sin x +1} \ \mathrm{d}x così da ottenere:
[math] \displaystyle -\left[ \int 1 \
\mathrm{d}x - \int \frac{2}{\sin x +1} \mathrm{d} x \right].
Risolvendo il secondo integrale per sostuzione si ottiene il risultato: [math] \displaystyle - \frac{4}{\tan \left(\frac{x}{2} \right) + 1} -x +c.
Qui sta il problema: Il risultato è giusto, ma ci sono anche altri risultati giusti poichè si potevano usare le parametriche sin dall'inizio oppure moltiplicare e dividere per $ \displaystyle (1-\sin x) $. Uno dei risultati corretti è ad esempio [math]\displaystyle \frac{4}{\cot \left(\frac{x}{2} \right) +1} -x +c che differisce dal risultato trovato da me di [math]c. Il mio dilemma è questo: qual'è il risultato accettato durante una gara o magari in un esame di analisi?