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Consideriamo una matrice quadrata simmetrica di dimensione nxn con valori 1 sulla diagonale e con valori 0 oppure 1 altrove. Si dimostri che per ogni p intero maggiore di 1 esiste un vettore a n componenti intere tale che il prodotto matrice vettore ci dia un vettore con tutte le n componenti diverse da 0 modulo p. Nel caso p=2 il risultato è vero (ed è un problema a livello olimpico), se p>2 credo che il risultato sia ancora vero ma mi risulta sia un problema aperto. Sarei molto interessato al caso p=3. L’origine di questo problema è un simpatico puzzle risolto nel caso p=2 da un teorema di Sutner del 1989 e l’argomento ha come parola chiave “lights out puzzle”. (math world.wolfram.com/LightsOutPuzzle.html,
iespravia.com/rafa/luces/Lights.pdf)