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Stabilire se possa o meno esistere una funzione $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ strettamente crescente con immagine mai densa, sarebbe a dire tale che la sua chiusura topologica ha interno vuoto: $(\overline{\textrm{Im}f})^\mathrm{o}=\emptyset$.

Non vorrei dire una sciocchezza, ma questa non dovrebbe funzionare? Ovviamente basta trovarne una da $(0,1)$ in $\mathbb R$ con la stessa proprietà, perchè poi basta precomporre con una biiezione strettamente monotona $\mathbb R\to (0,1)$. Adesso definisco $f\colon (0,1)\to \mathbb R$ che fa la seguente cosa: prendo $\alpha\in (0,1)$, mi scrivo $\alpha$ in base 2, rimpiazzo tutti gli 1 con dei 2 e leggo il risultato in base 3. Chiamo questo numero $f(\alpha)$. Adesso è ovvio che l'immagine di $f$ è mai densa, perchè l'immagine è l'insieme dei numeri in $(0,1)$ la cui scrittura in base 3 non contiene la cifra 1, e questo è l'insieme di Cantor meno due punti. Devo solo provare che è strettamente monotona, ma anche questa cosa è abbastanza ovvia perchè se $\sum_{i\geq 1}a_i(1/2)^i>\sum_{i\geq 1}b_i(1/2)^i$ con gli $a_i,b_i\in \{0,1\}$ allora $\sum 2a_i(1/2)^i>\sum 2b_i(1/2)^i$ e da qua si argomenta facilmente che $\sum 2a_i(1/3)^i>\sum 2b_i(1/3)^i$. Cosa sto sbagliando?

Non stai sbagliando nulla! Al più qualcuno particolarmente pedante potrebbe toglierti un punto per non aver esibito la biezione strettamente crescente dalla retta all'intervallo, spesso è meglio spendere un rigo in più e star più tranquilli.