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Buongiorno a tutti!

Lancio una sfida:

[math]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} ( \frac{1}{3})^{\log_e n}


Come posso dimostrare che converge?

Grazie a tutti!!

Prima di tutto me lo scrivo meglio:
[math](1/3)^{ln(n)}=e^{ln((1/3)^{ln(n)})}= e^{(ln(1/3))(ln(n))}= n^{ln(1/3)}=n^{-ln(3)}=(1/n)^{ln(3)}
Noto quindi che si tratta di una funzione monotona decrescente

Ora calcolo l'integrale:
[math]\int n^{-ln(3)}\, dn = \dfrac{n^{1-ln(3)}}{-ln(3)+1}=-\dfrac{n^{1-ln(3)}}{ln(3)-1}

Inoltre [math]\lim_{n\to\infty}\frac{n^{1-ln(3)}}{ln(3)-1}=0 perché 1-ln(3)<0
Per il criterio dell'integrale la sommatoria di una funzione monotona decrescente converge se e solo se converge l'integrale della funzione.

Ma calcolata negli estremi +∞ e 1 da:
[math] 0-(-\frac{1}{ln(3)-1})=\frac{1}{ln(3)-1} che è finito

Spero di non aver fatto casini (è la prima volta che uso LaTeX)

Bravissimo!

Grazie mille Campag, sei un portento!