Sia $ f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}^n $ un'applicazione continua.
1)Mostrare che $ f $ non è necessariamente rettificabile.
2)Cosa si può dire se $ f $ è assolutamente continua?
Curve rettificabili
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publiosulpicio
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- Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Sia $ 0=a_0<a_1<a_2<...a_n<a_{n+1}=1 $ una qualunque partizione $ P $ di $ [0,1] $. Definiamo $ \displaystyle L_P=\sum_{i=0}^n|{f(a_{i+1}-f(a_i)| $ (in sostanza si tratta della lunghezza della poligonale, data dalla partizione, che approssima la curva). Se $ \displaystyle \sup_PL_P $ è finito diciamo che la curva è rettificabile e diciamo che $ \displaystyle L=\sup_PL_P $ è la sua lunghezza.
In sostanza se, variando le poligonali con cui approssimiamo la curva, la lunghezza di queste ha un sup finito diciamo che la curva è rettificabile (cioè intuitivamente ha lunghezza finita) e ovviamente tale lunghezza sarà il sup di cui sopra.
Un noto teorema afferma che se $ f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}^n $ è una funzione di classe $ C^1 $ allora si ha $ \displaystyle L=\int_0^1||f'(t)||dt $, dove $ ||\cdot|| $ indica la norma euclidea.
In sostanza se, variando le poligonali con cui approssimiamo la curva, la lunghezza di queste ha un sup finito diciamo che la curva è rettificabile (cioè intuitivamente ha lunghezza finita) e ovviamente tale lunghezza sarà il sup di cui sopra.
Un noto teorema afferma che se $ f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}^n $ è una funzione di classe $ C^1 $ allora si ha $ \displaystyle L=\int_0^1||f'(t)||dt $, dove $ ||\cdot|| $ indica la norma euclidea.
Ci vuole un candidato un po' "frattale".