Topologia: regolarità e numerabilità vs normalità

[HiTLeuLeR]

E' noto che ogni spazio topologico regolare e numerabile di seconda specie è pure uno spazio topologico normale. Ecco allora i problemi:

1. Esibire l'esempio di uno spazio topologico normale che non sia numerabile di seconda specie.

2. Esibire l'esempio di uno spazio topologico regolare e numerabile di prima specie che non sia anche normale.

Giusto per chiarezza, diciamo che uno spazio topologico $ (\mathcal{S}, \mathcal{O}) $ è

- regolare se è di Hausdorff e separa i punti dai chiusi;

- normale se è di Hausdorff e separa i chiusi dai chiusi;

- numerabile di I specie se, comunque scelto un punto $ p \in \mathcal{S} $, esiste una famiglia numerabile $ \{U_i\}_{i\in\mathbb{N}} $ di intorni del punto tale che, per ogni altro intorno $ U $ di $ p $, esista un qualche $ i \in \mathbb{N} $ per cui $ U_i \subseteq U $;

- numerabile di II specie se la topologia possiede una base numerabile (di aperti).

[publiosulpicio]

La domanda è interessante, quindi pensateci, ma se proprio non trovate la soluzione segnalo un interessantissimo testo al riguardo: "Counterexamples in Topology" di Steen e Seebach. Ci troverete tutti i controesempi possibili su spazi topologici, è davvero bello!

[moebius]

Hmmm per il primo....
Se prendiamo $ \mathbb{R} $ (ma dovrebe andare bene qualsiasi insieme di cardinalità più che numerabile) con la topologia discreta?

[HiTLeuLeR]

Sì, moebius, va più che bene (seppure sia un po' *troppo* banale)...