Scompattificazione a un punto

[EvaristeG]

Sia X uno spazio topologico connesso, compatto e T2; dimostrare che il complementare di un punto in X non è compatto.

EDIT : con T1 non funzionava ... per lasciarci T1 bisognava inserire l'artificiosa condizione che vi fosseri chiusi a parte interna non vuota ...

[publiosulpicio]

Suppongo che $ X $ contenga almeno due punti. Sia $ x \in X $. Poiché lo spazio è di Hausdorff $ \{x\} $ è un insieme chiuso, da cui $ A=X \backslash \{x\} $ è un aperto. Inoltre essendo $ X $ connesso ed essendo $ \emptyset \not = A \not = X $ si ha che $ A $ non è un chiuso, e quindi non può essere compatto poiché in un Hausdorff i compatti sono chiusi.