OliForum Matematico

Su stessa ammissione del propositore, di combinatorico non ha niente se non l'origine dei simboli che vi compaiono ... inoltre l'analisi complessa è ben lungi dall'essere tecnica olimpica. EG

Dimostrare che

$ \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{n!}{(2n)!} + e^{-1/4} \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{(2n+1) 2^{2n+1} n!} = 1 $

Bella.
Ma così a occhio mi sembra che non sia la sezione del forum appropriata...

Spider

elianto84 ha scritto:Dimostrare che...

Sono riuscito a condurre la seconda sommatoria a un integrale definito (purtroppo la funzione integranda non ha primitive elementari), mi chiedo solo: tu conosci la dimostrazione, è combinatoria o analitica?

Santana ha scritto:Sono riuscito a condurre la seconda sommatoria a un integrale definito

The right way. Basta far lo stesso con la prima serie e usare un pizzico di analisi complessa.

elianto84 ha scritto:The right way. Basta far lo stesso con la prima serie e usare un pizzico di analisi complessa.

Tanto per dire io ho fatto così, sappiamo che

$ \[ \frac{1}{2}e^{x^2 /4} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{x^{2n} }}{{2^{2n + 1} n!}}} \] $

da cui

$ \[ \frac{1}{2}\int {e^{x^2 /4} dx} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{x^{2n + 1} }}{{\left( {2n + 1} \right)2^{2n + 1} n!}}} \] $

e infine

$ \[ \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {e^{x^2 /4} dx} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{1}{{\left( {2n + 1} \right)2^{2n + 1} n!}}} \] $

quest'ultimo integrale non ha primitive elementari, si ritrova nella tua dimostrazione? La prima sommatoria mi sembra un pò più complessa, sono
curioso perchè come può vedere in un altro post, mi occupo (o forse meglio dire occupavo) di serie di questi tipi...

scusate ... passo di corsa (e... fra parentesi... pare che faccia fisica )
direi che l'altra serie si può esprimere così

$ \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{\int\limits_0^\infty{(-t)^{n}e^{-t}}dt}{2n!} = \int\limits_0^\infty{\frac{e^{i\sqrt{t}}+e^{-i\sqrt{t}}}{2}e^{-t}}dt $
ovvero l'identità iniziale equivale a
$ \int\limits_0^{\frac{1}{2}}{e^{x^2}}dx = e^{\frac{1}{4}}\int\limits_0^\infty{e^{-y^2}\sin{y}}dy $

Tmart: sei ad un metro dalla meta.

Anyway, per i curiosoni la mia dimostrazione si trova qui